derivada direccional
Páginas: 5 (1121 palabras)
Publicado: 6 de junio de 2013
Base y Dimensión de un Espacio Vectorial
Definición
BASE
Un conjunto de finito de vectores es una base para un espacio vectorial si:
i) es Linealmente Independiente.
ii) genera .
Todo conjunto de vectores linealmente independiente en es una base de
Sean ; ; ; …
El conjunto de vectores es un conjunto de vectores L. I., por lo tanto constituyen una base canónica para .
Unabase canónica para (conjunto de polinomios de grado 3) será el conjunto
Una base canónica para (conjunto de matrices de orden 2) es
¿Encuentre una base para el subespacio de ; ?
Escogiendo arbitrariamente y , en el plano
De ;
Lo cual muestra que y , generan , es claro que los vectores son L. I. (dado que cualquiera de los vectores no es múltiplo del otro), así los vectores yresultan ser una base para .
Definición
DIMENSIÓN
Si el espacio vectorial , tiene una base finita, entonces la Dimensión de es el número de vectores en todas las bases, y se llama espacio vectorial de dimensión finita.
De otra manera se llama espacio vectorial de dimensión infinita.
Si , entonces se dice que tiene dimensión cero.
Dimensión de
vectores linealmente independientesen constituyen una base del espacio vectorial .
Entonces =
La dimensión del espacio vectorial es
=
Y la dimensión del espacio vectorial es
Tr. Sea un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita , entonces tiene dimensión finita y
SUBESPACIOS DE
Los únicos subespacios propios de son los conjuntos de vectores que están en una recta o en un plano que pasa por elorigen.
Si es un subespacio de
Existen 4 posibilidades
, , o
En el caso , contiene una base L. I. de tres vectores , , , pero , , también forman una base para , así que
Así podemos concluir que los únicos subespacios propios de tienen y
Si , entonces , tiene una base que consiste de un vector .
Sea en . Entonces , para algún , esto significa , y , esta es la ecuaciónde una recta que pasa por origen con la dirección
Si , entonces y es una base para si en , entonces existen números reales y tales que o entonces
Ecuaciones paramétricas de un plano
ESPACIO DE SOLUCIÓN Y ESPACIO NULO
Sea una matriz y sea
Sean , en
Es claro que
Y
Así es un subespacio de y
Al conjunto se le llama Espacio de Solución del sistema homogéneoo Espacio nulo de la matriz .
Base para el espacio de solución de un sistema homogéneo
Encuentre una base (y la dimensión) para el espacio solución del sistema homogéneo
Aquí subespacio de
Lo que nos manifiesta que todas las soluciones son de la forma
así que es una base para y ; observe que es el conjunto de vectores que están en la recta
Encuentre una basepara el espacio solución del sistema
Aquí se obtiene una sola ecuación , es decir
La base se encuentra dada por los vectores y y
RANGO DE UNA MATRIZ
El concepto de rango relaciona matrices con vectores
Los conceptos de solución de un sistema de ecuaciones; de singularidad de una matriz y de matriz inversa están relacionados con el rango.
En consideremos
Losrenglones de como vectores , con componentes
Las columnas de como vectores , con componentes
Los vectores renglón generan un subespacio de llamado Espacio Renglón de
Los vectores columna generan un subespacio de llamado Espacio columna de
Ejemplo en la matriz
Los vectores renglón (fila) de , son
; ;
Estos vectores generan un subespacio de , llamado espacio renglón de
Losvectores columna de
; ; ;
Estos vectores generan un subespacio de , llamado Espacio Columna de
Tr. El espacio renglón y el espacio columna tienen la misma dimensión.
Definición
RANGO DE UNA MATRIZ
La dimensión del espacio renglón y del espacio columna de una matriz recibe el nombre de Rango []
Determine el rango de la matriz
Es claro que , motivo por el cual los tres...
Definición
BASE
Un conjunto de finito de vectores es una base para un espacio vectorial si:
i) es Linealmente Independiente.
ii) genera .
Todo conjunto de vectores linealmente independiente en es una base de
Sean ; ; ; …
El conjunto de vectores es un conjunto de vectores L. I., por lo tanto constituyen una base canónica para .
Unabase canónica para (conjunto de polinomios de grado 3) será el conjunto
Una base canónica para (conjunto de matrices de orden 2) es
¿Encuentre una base para el subespacio de ; ?
Escogiendo arbitrariamente y , en el plano
De ;
Lo cual muestra que y , generan , es claro que los vectores son L. I. (dado que cualquiera de los vectores no es múltiplo del otro), así los vectores yresultan ser una base para .
Definición
DIMENSIÓN
Si el espacio vectorial , tiene una base finita, entonces la Dimensión de es el número de vectores en todas las bases, y se llama espacio vectorial de dimensión finita.
De otra manera se llama espacio vectorial de dimensión infinita.
Si , entonces se dice que tiene dimensión cero.
Dimensión de
vectores linealmente independientesen constituyen una base del espacio vectorial .
Entonces =
La dimensión del espacio vectorial es
=
Y la dimensión del espacio vectorial es
Tr. Sea un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita , entonces tiene dimensión finita y
SUBESPACIOS DE
Los únicos subespacios propios de son los conjuntos de vectores que están en una recta o en un plano que pasa por elorigen.
Si es un subespacio de
Existen 4 posibilidades
, , o
En el caso , contiene una base L. I. de tres vectores , , , pero , , también forman una base para , así que
Así podemos concluir que los únicos subespacios propios de tienen y
Si , entonces , tiene una base que consiste de un vector .
Sea en . Entonces , para algún , esto significa , y , esta es la ecuaciónde una recta que pasa por origen con la dirección
Si , entonces y es una base para si en , entonces existen números reales y tales que o entonces
Ecuaciones paramétricas de un plano
ESPACIO DE SOLUCIÓN Y ESPACIO NULO
Sea una matriz y sea
Sean , en
Es claro que
Y
Así es un subespacio de y
Al conjunto se le llama Espacio de Solución del sistema homogéneoo Espacio nulo de la matriz .
Base para el espacio de solución de un sistema homogéneo
Encuentre una base (y la dimensión) para el espacio solución del sistema homogéneo
Aquí subespacio de
Lo que nos manifiesta que todas las soluciones son de la forma
así que es una base para y ; observe que es el conjunto de vectores que están en la recta
Encuentre una basepara el espacio solución del sistema
Aquí se obtiene una sola ecuación , es decir
La base se encuentra dada por los vectores y y
RANGO DE UNA MATRIZ
El concepto de rango relaciona matrices con vectores
Los conceptos de solución de un sistema de ecuaciones; de singularidad de una matriz y de matriz inversa están relacionados con el rango.
En consideremos
Losrenglones de como vectores , con componentes
Las columnas de como vectores , con componentes
Los vectores renglón generan un subespacio de llamado Espacio Renglón de
Los vectores columna generan un subespacio de llamado Espacio columna de
Ejemplo en la matriz
Los vectores renglón (fila) de , son
; ;
Estos vectores generan un subespacio de , llamado espacio renglón de
Losvectores columna de
; ; ;
Estos vectores generan un subespacio de , llamado Espacio Columna de
Tr. El espacio renglón y el espacio columna tienen la misma dimensión.
Definición
RANGO DE UNA MATRIZ
La dimensión del espacio renglón y del espacio columna de una matriz recibe el nombre de Rango []
Determine el rango de la matriz
Es claro que , motivo por el cual los tres...
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