Derivadas direccionales

Escuela Politécnica Nacional
Nombre: Adrián Huaca Cálculo Vectorial
Derivadas Direccionales y Vectores Gradientes

1. Vectores Gradientes.

El cambio en el valor de la funciónw=f(x,y,z) desde el punto P=x,y,zhasta el punto cercano Q=(x+∆x,y+∆y,z+∆z) se da por,

∆w=fQ-f(P)
Pero según los diferenciales, esto se lo puede expresar de la siguiente manera

∆w≈∂f∂x∆x+∂f∂y∆y+∂f∂z∆zDe esta ecuación podemos expresar la aproximación de forma concisa en términos del vector gradiente ∇f de la función f, que se define como

∇f=∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z=∂f∂xi+∂f∂yj+∂f∂zk

Esto implica quelos cambios de valores ∆x, ∆y, ∆z, al ser muy pequeños se los considera como unitarios de un vector, con lo cual el incremento ∆w=fQ-f(P) esta dado de manera próxima por
∆w≈ ∇f(P) ∙v

Dondev=PQ=∆x,∆y,∆z, es el vector de desplazamiento de P a Q, y es un producto punto.

También se dice que es la razón de cambio de f en el punto “P” en la dirección de “v”

2. Derivadas direccionales
Dadoun campo escalar f:U→R donde U ⊆ Rn. Sean P y Q un punto interior de U y “v” un vector arbitrario de Rn, la razón promedio de cambio de f con respecto a la distancia entre P y Q es∆w∆s=fQ-f(P)⎸PQ⎹
Pero ⎸PQ⎹= ⎹ v ⎸, por lo tanto
∆w∆s≈∇f(P) ∙v⎹ v ⎸=∇f(P)∙u
Donde u es el vector unitario en la dirección de P a Q. Cuando consideramos el límite de la razón promedio de cambio ∆w/∆s cuando ∆s→0,obtenemos la razón de cambio instantánea.

dwds=lim∆s∆w∆s=∇f(P)∙u
Con lo cual motiva a la definición
DufP=∇f(P)∙u
De la derivada direccional de f en P(x,y,z) en la dirección u.
También se lo conocecomo la razón de cambio de la función w=f(x,y,z) con respecto de la distancia s en la dirección del vector unitario u
Notaciones
a) Cuando v=1, DufP se denomina derivada direccional de f en “P”en la dirección de “v”. También se dice que es la razón de cambio de f en el punto “P” en la dirección de “v”, se notara como fa+hv-f(a)h.

b) Si en particular, las direcciones son los...