Derivada Direccional

DERIVADA DIRECCIONAL
Hasta ahora hemos estudiado las derivadas parciales de una función de dos variables w=f(x, y): fx(x, y) y fy(x, y) que como se indica son en dirección de x y y, respectivamente.Sea el vector u=u1i+u2j un vector unitario. Si el punto inicial del vector u es el punto P(x, y), entonces el punto final tiene coordenadas (x+u1, y+u2). Se desea definir la razón de cambio def(x, y) con respecto a la distancia en la dirección determinada por el vector unitario u.

Y
(x+u1, y+u2)u=u1i+u2j
P(x,y)
X

Sea la recta que pasa por P y es paralela a u y sea Q un punto cualquiera de , como aparece en lafigura.
El vector PQ corresponde al múltiplo escalar: su=su1i+(su2)j donde s es cualquier número real.
Como u es un vector unitario se tiene,
PQ=su=su=sY
∗ Q(x+su1, y+su2)

u=u1i+u2j=u1i+u2jP(x,y)

X

Entonces s es la distancia desde P medida a lo largo de . Si s>0,entonces su tiene la misma dirección de u. Si s<0, entonces su tiene la dirección opuesta..
Si la posición de un punto varía de P a Q, entonces el incremento ∆w de w=f(x, y) es
∆w=fx+su1,y+su2-fx,y.
La rezón media de cambio de f(x,y) con respecto a s es
∆ws=fx+su1, y+su2-fx,ys
Como se hizo antes con las derivadas, para encontrar la razón de cambio instantánea de fx,y en P en ladirección determinada por u, se toma el límite de la razón de cambio ∆ws cuando s→0. Esto origina la siguiente definición.
Sea w=f(x, y) y sea u=u1i+u2j=u1i+u2j un vector unitario. La derivada de f...