Derivada

La derivada(Hoffman 2006)

Pendiente de una tangente

La tangente a una curva en un punto es la recta que indica la dirección de la curva en ese punto.
La pendiente de la recta que pasa por dos puntos y :
Pendiente
Desafortunadamente, sólo se conoce un punto en la recta tangente, es decir, el punto de tangencia . Por lo tanto, el cálculo directo de la pendiente es imposible y se hacenecesario adoptar un enfoque indirecto.
Entonces, debe aproximarse la tangente por medio de otras rectas cuyas pendientes puedan calcularse directamente.
Consideramos las rectas que unen el punto dado con puntos próximos a la gráfica de f, éstas rectas, se denominan secantes y son buenas aproximaciones a la tangente, siempre que el punto próximo esté cercano al punto dado.

Recta secante quepasa por P y Q.

Tres funciones no diferenciales en (0,0)

Gráfica de una función f(x)=c

Ejemplo:

Deducir la fórmula para expresar la pendiente de la tangente a la curva como una función de la coordenada x del punto de tangencia.

Representamos el punto de tangencia y el punto próximo como como se muestra en la figura:

Pendiente de la secante

A medida que se acerca a cero,entonces la pendiente se aproxima a 2x, se deduce que en el punto , la pendiente de la tangente es 2x.

Interpretación geométrica de la derivada
La derivada expresa la pendiente de la tangente a la curva como una función de la coordenada x del punto de tangencia.

Procedimiento para calcular la derivada de una función
1. Expresar el cociente de las diferencias (la pendiente de una secante)2. Simplificar algebraicamente el cociente de las diferencias.
3. Aproximar a cero en el cociente simplificado de las diferencias.

Notación de límite

Ejemplo:
Hallar la derivada de la función y encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función cuando x=2.

Para hallar la pendiente de la tangente cuando x=2, calcular .
Pendiente de la tangente =
Parahallar la coordenada y del punto de tangencia, calculamos .

Ahora, empleamos la fórmula punto-pendiente con y :

Notación de la derivada

Si , entonces:

También puede escribirse:

Si , entonces:

El símbolo se lee “la derivada de y con respecto a x”, es así como,

Se lee “la derivada de con respecto a x es 2x”.

Ejercicios:

Calcular la derivada de la función dada y hallarla pendiente de la recta tangente a la gráfica para cada valor especificado de x.
1.
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Calcular la derivada de la función dada y hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica para cada valor especificado de x.
1.
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3.

Técnicas de derivación

1. Derivada de una función de potencia:

Si , para cualquier n,

2.Derivada de una constante:

(a) Para cualquier constante k,



(b) Para cualquier constante k,



3. Derivada de la suma:

La derivada de una suma es la suma de las derivadas individuales.

4. Derivada de un producto:

La derivada de un producto es igual al primer factor multiplicado por la derivada del segundo factor más el segundo factor por la derivada del primero.5. Derivada de un cociente:

Regla de la cadena

Sea una función de u y una función de x. Entonces podemos escribir

que representa a y como una función de x, denominada la función composición de f y g. Se denota por .
Las derivadas de funciones compuestas pueden calcularse mediante el teorema siguiente.

TEOREMA 1 (REGLA DE LA CADENA): Si y es una función de u y u es una funciónde x, entonces:

Es decir, la derivada de y con respecto a x es la derivada de y con respecto a u multiplicada por la derivada de u con respecto a x.

Ejemplo: Hallar si

Podríamos resolver este ejercicio desarrollando como un polinomio en x. Sin embargo, es mucho más sencillo utilizar la regla de la cadena.
Obsérvese que y puede expresarse como la composición de dos funciones en la...