Derivada

Introducción
Sea f la función definida mediante la ecuación y f( x ). f( a h ) f( a ) representa el cambio que se produce en f(x) a partir de f( a ) hasta alcanzar f( a h ) cuando x va desde x a al valor x = a+h h ) f( a ) representa la razón de cambio promedio h con que se produce dicho cambio. f( a

Derivada
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Def.

( razón de cambio instantaneo ).

Ejemplos
Encuentre la razónde cambio instantánea para f en el punto dado para cada uno de los siguientes casos:
a) b) f( x ) f( x ) x2 1 , x0 x , x0 1 1

Sea f una función definida en un abierto I que contiene al punto x = a. Llamaremos Razón de Cambio Instantánea de f en x = a, que denotaremos con RCinst , al valor dado por
RCinst lim
h 0

f( a

h) h

f( a )

si el límite existe.

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Recta Secante auna curva
La recta que pasa por los puntos
P0 [ a, f( a ) ] , P1 f( a [a h) h h, f( a f( a ) h ) ].

Recta Tangente
A medida que el punto P1 se aproxima al punto P0 , es decir cuando h 0 , las rectas secantes resultantes tienden a una recta " limites" cuya característica principal es que en una vecindad de x a la gráfica de f y la gráfica de esta recta tienen un único punto en común, [ a, f(a ) ]. Tal recta límite la llamaremos Recta Tangente a la gráfica de f en [ a, f( a ) ].

tiene pendiente
m

luego, la recta que pasa por los puntos P0 y P1 tiene ecuación
h ) f( a ) (x a) h Nota: Diremos que tales rectas son secantes a la gráfica de f en los puntos P0 y P1 . y f( a ) f( a

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Nota
Como la pendiente de cada una las rectas secantes esta dada por
mh f( a h) h h) hf( a )

Def.

( recta tangente ).

Sea f una función definida en un abierto I que contiene al punto x = a. Llamaremos Recta Tangente a la gráfica de f en el punto (a, f( a )) a la recta de ecuación
y donde mT si el límite existe. lim
h 0

f( a ) f( a

mT( x h) h

a) f( a )

entonces la pendiente mT de la recta tangente es
mT lim
h 0

f( a

f( a )

y la ecuación que larepresenta esta dada por
y f( a ) mT ( x a)
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Ejercicio Nota.Observar que
mT RCinst = lim
x a

Sea f( x )

2 , x x

0 . Se pide :

Determinar la razón de cambio instantanea para f en x0 2 .
f( x ) x f( a ) a

Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en [ 2, f( 2 ) ] . Representar gráficamente la recta tangente junto con la gráfica de f en el mismo sistema deejes coodenados

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Definición de Derivada

Sea f una función definida en un intervalo abierto I y sea x a un punto en I. Diremos que f es derivable en a si f( a h) h f( a )

lim
h 0

existe. > plot([2/x,2-x/2],x=-0.5..5,y=-.5..3,color=black)
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Nota:
Si f es derivable en x Es decir: f ' (a) = lim
h 0

a al valor del límite se denomina

Ejemplos.
Ejemplo 1. Sea f lafunción definida por f( x ) x3.

derivada de f en a y se denota con f ' (a).
f( a h) h f( a )
Calcular f ' (1), si existe.

si el límite existe.

Ejemplo 2. Repetir el ejercicio anterior para f( x ) 1 x2 y x0 2.

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Idea Gráfica.

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Ejemplo 3 Use la definición para encontrar la derivada de f (x) = x en x =1 . Además, encuentre la ecuación de la recta perpendiculara la recta tangente a la gráfica de f en ( 1, f(1)) que pasa por el punto de tangencia.
Solución:

Nota :
Llamaremos Recta Normal a la gráfica de f en el punto P a la perpendicular a la tangente a la gráfica en P

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Ejemplo 2

Pruebe que la función definida por f(x) = x2/3 no es derivable en x = 0

Ejercicio
Pruebe que la función f(x) = |x| no es derivable en x = 0.

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Teorema.Ejemplo1.Si la función f es derivable en c, entonces es continua en c.
Dem.

Pruebe que la función definida por f( x ) := { no es derivable en x0=1 x2 2x 2x 1 x x 1

Nota.Por contrarreciproco, si f no continua en x0 entonces f no es derivable en x0

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Respuesta

Ejemplo2.Sea f(x) = { x 3 2x 1 x x 1

1.- Dibuje la gráfica de f. 2.- Pruebe que f es continua en x...