derivada

Tema 3

Derivadas Parciales y Derivadas
Direccionales
En este tema y en el siguiente presentaremos los conceptos fundamentales del C´alculo
Diferencial para funciones de varias variables.
Comenzaremos con las definiciones y c´alculos de las derivadas parciales y direccionales, present´andose el concepto de diferenciabilidad, m´as complejo que el correspondiente al C´alculo en una variablereal, en el tema pr´oximo.

3.1

Derivadas Parciales

Presentaremos en primer lugar la definici´on de derivadas parciales para una funci´on
escalar de dos variables.
Sea f (x, y) una funci´on escalar de dos variables reales definida al menos en un entorno
del punto (x0 , y0 ). Se define la derivada parcial de f (x, y) con respecto a x en el punto
(x0 , y0 ) como el siguiente l´ımite (siexiste):
∂f
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
h→0
∂x
h
De manera an´aloga, definiremos la derivada parcial con respecto a y:
f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = lim
h→0
∂y
h
De estas definiciones se deduce f´acilmente que el c´alculo efectivo de una derivada parcial
con respecto a a una variable es id´entico al de las derivadas ordinarias, sin m´as queconsiderar el resto de las variables involucradas como constantes.
Desde el punto de vista geom´etrico, y teniendo en cuenta que la gr´afica de una funci´on
f (x, y) se visualiza como la superficie de ecuaci´on: z = f (x, y), las derivadas parciales ∂f
∂x
19

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´
´
CALCULO
/ INGENIERO GEOLOGO
/ TEMA 3

y ∂f
on
∂y en (x0 , y0 ) representan las pendientes de las rectas tangentes a lascurvas intersecci´
entre dicha superficie y los planos y = y0 y x = x0 , respectivamente, en el punto
(x0 , y0 , z0 ), siendo z0 = f (x0 , y0 ).
De esta manera, si las derivadas parciales existen en el punto, la ecuaci´on del plano
tangente1 ser´ıa:
z = z0 +

∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 ) (y − y0 )
∂x
∂y
y y0

f x,y

x x0
y
x

Figura 1: (izquierda) Curvas sobre lasuperficie z = f (x, y), obtenidas al cortarla con los planos
x = x0 e y = y0 .

(derecha) Plano tangente a la superficie en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).

Como vemos, la derivabilidad de una funci´on f (x, y) se va a relacionar de manera
directa con la existencia y “correcto” comportamiento del plano tangente a su gr´afica.
Resulta evidente, en cualquier caso, que para superficies deltipo a las presentadas en la
siguiente figura (con “picos”, o “dobleces”, el plano tangente no estar´a bien definido).

Generalicemos la definici´on de derivada parcial al caso de n variables:
Definici´
on: Sea f (x), f : Rn → R, una funci´on escalar de n variables reales, x =
(x1 , . . . , xn ), definida al menos en un entorno2 de x0 ∈ Rn . Se define la derivada parcial
de f con respecto axj en x0 como el l´ımite (si existe):
1

Suponiendo que dicho plano existe y que est´e bien definido, lo cual no siempre es cierto, aunque las
derivadas parciales s´ı que existan. Aclararemos estas ideas en el pr´
oximo tema.
2
Recordemos que un entorno de un punto x0 ∈ Rn es todo conjunto abierto que contenga una bola
abierta centrada en x0 , es decir: U ⊃ Br (x0 ), con:
Br (x0 ) = {x ∈Rn / x − x0 < r }

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´
´
CALCULO
/ INGENIERO GEOLOGO
/ TEMA 3

f (x0 + huj ) − f (x0 )
∂f
(x0 ) = lim
h→0
∂xj
h
donde uj = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) denota al vector j-´esimo de la base can´onica de Rn .
Si denotamos: x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ), podemos escribir, de forma expl´ıcita:
f (x01 , . . . , x0j + h, . . . , x0n ) − f (x01 , . . . , x0n )
∂f
(x0 ) = limh→0
∂xj
h
Una vez definida la derivada parcial en un punto, es directo definir la funci´on derivada
parcial:
Definici´
on: Sea f : Rn → R definida en un conjunto abierto U de Rn , se define la
∂f
funci´on derivada parcial respecto de la variable i-´esima ∂x
, Dxi f o fxi , como la funci´on
i
∂f
tal que a cada punto x0 ∈ U le asocia, cuando exista, el valor ∂x
(x0 ).
i
Ejemplo:...