Derivada

Objetivo: Aplicar el concepto de derivada en la solución de fenómenos físicos

Es posible que la aplicación más importante del cálculo en la física sea el concepto de "derivada temporal" (la tasa de cambio en el tiempo), relacionados con los conceptos de espacio x (t), también se puede representar por s (t), la velocidad v (t) y la aceleración a (t), todos ellos están en función del tiempo t,estableciéndose las siguientes relaciones: Si la ecuación de la posición de un objeto – móvil – partícula, está dada en función del tiempo, entonces la derivada de dicha función con respecto al tiempo, describe la velocidad del objeto como una función del tiempo, es decir v (t) = x’ (t). Si la ecuación de la velocidad de un objeto – móvil - partícula está dada como una función del tiempo, entoncesla derivada de dicha función con respecto al tiempo, describe la aceleración del objeto como una función del tiempo, es decir a(t) = v’(t). Si la ecuación de la posición de un objeto – móvil – partícula, está dada como una función del tiempo, entonces la derivada, de la derivada (segunda derivada-orden superior) de dicha función con respecto al tiempo, describe la aceleración del objeto como unafunción del tiempo, ” es decir a (t) = x (t). También podemos mencionar dentro de las aplicaciones de la derivada, la regla de L’Hôpital, la cual se aplica en a solución de límites, es decir cuando se reemplaza el valor al cual tiende el límite y el resultado que se obtiene es de la forma cero sobre cero, entonces para quitar esta indeterminación derivamos la función (numerador y denominador enforma independiente) y se reemplaza el valor al cual tiende el limite, obteniendo la solución del límite. Dentro de otras aplicaciones tenemos la recta tangente y recta normal a una curva, donde se debe construir la grafica de la función para verificar las ecuaciones obtenidas. Análisis de comportamiento (crecimiento) de una gráfica, análisis de máximos y mínimos, concavidad, puntos de inflexión,puntos críticos, problemas con máximos y mínimos, entre otros.

APLICACIONES DE LA DERIVADA A FENOMENOS FISICOS Como se había mencionada anteriormente es posible que la aplicación más importante del cálculo en la física sea el concepto de "derivada temporal" (la tasa de cambio en el tiempo), entonces con respecto a la posición y la velocidad de un objeto tenemos: Definición: Dada x (t) la funciónque representa la posición de un objeto en el tiempo t que se mueve a lo largo de una recta, entonces la velocidad del objeto en el instante t, está dada por la expresión:

Nota: Para el movimiento horizontal se considera la velocidad negativa cuando el objeto se mueve hacia la izquierda y positiva cuando el objeto se mueve hacia la derecha. La velocidad es cero cuando el objeto invierte susentido de dirección. Cuando el objeto se lanza al aire verticalmente, se considera la velocidad positiva mientras el objeto se está elevando, cero cuando alcanza su altura máxima y negativa cuando cae. Definición: Si x(t) es la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta, la aceleración del objeto en el instante t, está dada por a(t) = v’(t) = s"(t), donde a(t) es la aceleraciónen t tiempo.
NOTA: Si derivamos la ecuación de la velocidad se obtiene la ecuación de la aceleración y si remplazamos el valor de un punto en la ecuación de la aceleración, entonces se obtiene la aceleración en ese punto NOTA: Si derivamos dos veces la ecuación del espacio se obtiene la ecuación de la aceleración.

NOTA: Si derivamos la ecuación del espacio se obtiene la ecuación de lavelocidad y si remplazamos el valor de un punto en la ecuación de la velocidad, entonces se obtiene la velocidad en ese punto.

Ejemplo 1: Un móvil se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuación X (t)= 5t2 - 2t + 10, donde x se mide en metros y t en segundos. Determinar la velocidad del objeto cuando t = 2. Solución: Sabemos que al derivar la ecuación del espacio se obtiene la ecuación...