Derivada

FÍSICA 1

DERIVADAS E INTEGRALES

Departamento de Ciencias

OBJETIVOS
• Conocer y manejar el concepto de derivada.
• Aplicar las reglas de derivación para calcular las
derivadas de funciones reales.
• Ser capaz de utilizar la derivada para: determinar la
recta tangente a una curva en un punto; calcular
máximos y mínimos de una función; resolver
problemas aplicados a la física.Observe el siguiente video
http://www.acienciasgalilei.com/videos/derivadas.htm

DERIVADA
• Geométricamente se define como la
pendiente de la recta tangente a la curva en
un punto previamente establecido.

• RECTA TANGENTE:
Es una recta que tiene un único punto común con
una curva o función.

• RECTA SECANTE:
Es una recta que intersecta dos o mas puntos
de una curva.INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA
DERIVADA
• Sea P y Q dos puntos que pertenecen a la gráfica
de una función f(x, y).
• Si x es la abscisa del punto P, se cumple que y =f(x)
es la ordenada de P.
• De la misma forma, si x +h es la abscisa de Q, se
cumplirá que f(x+h) es la ordenada de Q, lo cual
podremos observar en la figura 1.

Figura 1

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA
DERIVADA
• Si trazamosuna recta secante a la gráfica de la
función f(x), que pase por el punto P(x, f(x)) y el
punto Q(x+h, f(x+h)); la pendiente de la recta secante
se puede calcular por la siguiente expresión:

y f ( x  h)  f ( x) f ( x  h)  f ( x)


x
xhx
h

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA
DERIVADA
• Si hacemos decrecer el valor de h, el punto Q
se acercará al punto P, como podremosapreciar en las siguientes figuras.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA
DERIVADA
• En el límite cuando el valor de h tienda a cero, el
punto Q coincidirá con el punto P, por lo que la recta
secante se convertirá en una recta tangente, en cuyo
caso el valor de la pendiente de la nueva recta
quedará expresado de la siguiente manera:

f ( x  h)  f ( x )
lim
h 0
h

Ejemplos
• 1)Encuentre una ecuación de la
recta tangente a la parábola y = x2
en el punto (1;1).
• 2) Encuentre una ecuación de la
recta tangente a la curva y = 3/x en
el punto (3;1).

Ejemplos
• 3) Encuentre la pendiente de la

recta tangente en el punto (9;3) a
la curva:

y x

Primeros ejemplos
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas, con la
intención de que ustedes vayandeduciendo un procedimiento (regla)
para resolverlas.

df
3
dx

f ( x)  6  x 2
df
 2 x
dx

x3
f ( x) 
3
df
 x2
dx

2x 1
f ( x) 
5
df 2

dx 5

f ( x)  3 x

Regla para encontrar derivadas
Sea la función:

c xn
f(x)
La derivada de esta función es:
n 1
df


dx
df
 cnx n 1
dx

Derivadas especiales
Sea la función:

f( x) c x1
La derivadade esta función es:

df
11
 
dx
df
0
 cx
dx
df
c
dx

Derivadas especiales
Sea la función:

f ( x)  c
La derivada de esta función es:

df
0
dx

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

x3
f(x) 5
La derivada de esta función es:

df

dx



df
 15 x 2
dx

3 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

x4
f(x) 3
La derivada de esta funciónes:

df

dx



df
  12 x 3
dx

4 1

Ejemplos de derivadas
Sea la función:

f(x)



2
3

x

1
5

La derivada de esta función es:
1
1
df
5


dx
4
df
2 5
 x
15
dx

Derivada de una suma y
diferencia de funciones
Sea la función:

f ( x)  g ( x)  h( x)
La derivada de la suma o diferencia es:

df dg dh


dx dx dx

Ejemplos
Seanlas funciones:

f ( x)  5 x 2  7 x  6
df
 10 x  7
dx
f ( x)  4 x 6  3x5  10 x 2  5x  16
df
 24 x 5  15 x 4  20 x  5
dx

Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1
2

3 4
f ( x)  8 x  x
4
1
df
 1  2  3 
 (8)  x   (4) x 5
dx
2
4

df
4
3

5
dx
xx

f ( x)  3x 4  10 x
df 12 5
 5
dx x
x

Derivada de...