Derivada

Derivada de una función compuesta y regla de la cadena

   La gran mayoría de las funciones que se estudian en cálculo están construidas por una composición de funciones, de aquí la importancia de conocer un método sencillo para diferenciar dichas funciones; el método utilizado para hallar la derivada de una función compuesta se conoce como "Regla de la cadena".

 Regla de la cadena:Ejemplo ilustrativo1:

Muchas veces sucede que hay que aplicar la regla de la cadena más de una vez para derivar una función compuesta dada.
Ejemplo ilustartivo2:

 Ejercicios resueltosEn los siguientes ejercicios obtenga la derivada de la función que se indica aplicando la regla de la cadena: |
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S o l u c i o n e s

 

 

 

 

 

Rapideces de variaciónrelacionadas

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 E n u n c i a d o s           En los ejercicios 1 a 4, x  e  y  son funciones de una tercera variable t. |
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S o l u c i o n e s

 

 

 

 

 
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Para calcular la distancia horizontal, x, de la cometa, respecto al niño, cuando la longitud de la cuerda es de 50 pies, vamos a utilizar el recíproco del Teorema de Pitágoras:

De acuerdo conel Teorema de Pitágoras, se tiene:

 
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Derivadas de orden superior

 Sea  f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera derivada de f; puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la primera derivada se le denomina segunda derivada de la funciónprimitiva f. Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y así sucesivamente hasta la enésima derivada.

Aceleración instantánea:

 Ejercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 5, obtenga la primera y la segunda derivadas de las funciones. |
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S o l u c i o n e s

 

 

 

 

 

 

 

Derivación implícita Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma  y = f (x); esto es cuando se da  y despejada en términos de x. En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que  y = f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y  puede definir a más de una función implícita.

         En muchas ocasiones no se puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita.    

          Es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita.

 

 Ejercicios resueltos          En los siguientes ejercicios, halle dy/dx por medio del proceso de diferenciación implícita |
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S o l u c i o n e s

 

 

 

 

 

 

 

 

Prueba de la primera derivada

Funciones crecientes y decrecientes

 

 

.Una función que siempre es creciente o decreciente en un intervalo, se dice que es monótona en ese intervalo. | |

 

 

| En la figura de la izquierda se esboza la interpretación geométrica del teorema:  "Prueba de la primeraderivada". En la parte izquierda de la figura se tiene un valor máximo relativo en c, y se observa que f '(x)>0 para x<c (en algún intervaloque tiene a c como su extremo derecho) y  f '(x)<0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo); en la parte derecha se tiene un valor mínimo relativo en c, y se observa que f '(x)<0 para x<c (en algún intervalo quetiene a c como su extremo derecho) y  f '(x)>0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo) |

 P r o c e d i m i e n t o Para determinar los valores extremos relativos de una función se procede de la siguiente manera:1.  Se halla la derivada de la función:  f '(x)2.  Se hallan los #s críticos de la función, esto es los valores de x para los cuales       f '(x) =...