Derivada

Derivada
¿Qué es una derivada?
La derivada es uno de los conceptos más importantes de las matemáticas. Técnicamente la derivada expresa el incremento de una magnitud con respecto a otro de ahí entonces que estaríamos hablando de variaciones en todo caso.  Entonces. En matemática a derivada no es más que la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. 
Como también podría ser latangente del ángulo de inclinación con respecto al Eje x de la recta que es tangente a la función en el punto que se está analizando. 

Físicamente cuando analizamos la variación de una magnitud en el tiempo por ejemplo.. 
si analizamos como varia el desplazamiento de una función con el tiempo en un instante determinado estamos obteniendo entonces la velocidad. 
Aplicaciones Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. 
Clases de derivadas
Derivada de una función.- La derivada de una función f (x) con respecto a x en el punto c se define como:


Observaciones:
1) Como c + h representa un punto cercano a c, entonces podemos escribir alternativa la derivada como:

Esta última escritura de la derivada nos permite interpretarla como la razón de cambioinstantánea en el punto c, obtenida a través del límite de la razón de cambio promedio para intervalos que llegan a c.
2) A efectos de cálculo es preferible trabajar con la forma:

Si la función tiene derivada en cada punto x de un intervalo contenido en el dominio entonces la función se dice diferenciable o derivable en el intervalo y f ′(x) denota la función derivada. Algunos libros prefieren usar lanotación ∆ x en vez de h, quedando escrita la función derivada como:

Derivada de una potencia o función potencial :Es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

Si la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.
f(x) = xk f'(x)= k · xk−1
Ejemplos:



Derivada de la raíz enésima: Deuna función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.
Derivada de la raíz cuadrada: La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raíz.


Ejemplos


Derivada de una suma :de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones. Esta reglase extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.

Ejemplos


Derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de una constante por una función
La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.Ejemplos:
Derivada de la función exponencial 
Es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Derivada de la función exponencial de base e
 Es igual a la misma función por la derivada del exponente.

Ejemplos

Derivada de un logaritmo: En base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.Como : también se puede expresar así:
Derivada de un logaritmo neperiano :Es igual a la derivada de la función dividida por la función.

En algunos ejercicios es conveniente utilizar las propiedades de los logaritmos antes de derivar, ya que simplificamos el cálculo.




Ejemplos




Aplicando las propiedades de los logaritmos obtenemos:

Crecimiento :
Si f esderivable en a:
Decrecimiento
Si f es derivable en a:
Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:
1. Derivar la función.
f '(x) = 3x2 −3
2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0
3x2 −3...