Derivadas Aplicadas

Desintegración radiactiva
Los núcleos de determinados elementos químicos (radiactivos) se desintegran, transformándose en otros y emitiendo radiaciones. Se sabe que la velocidadde desintegración de una sustancia radiactiva (es decir, el número de átomos que se desintegran por unidad de tiempo) en un instante dado es proporcional al número de ´átomos dedicha sustancia existentes en ese instante. En consecuencia, si se denota por A (t) el número de ´átomos de la sustancia original presentes en el instante t, se puede escribir:
A’(t)= −λA (t), donde el signo menos se debe a que la velocidad es negativa (el número de átomos disminuye) y la constante de proporcionalidad, λ > 0, se llama constante dedescomposición o de decaimiento, y es propia de cada sustancia radiactiva.
Si se conoce el número de átomos presentes en un instante dado, por ejemplo se sabe que en t = 0 es A (0) = A0, y seconoce también la constante de decaimiento, λ, entonces se puede predecir el número de ´atomos presentes en cualquier instante posterior, ya que A (t) es la solución del problema devalor inicial:
(1)
La ecuación en (1) es de variables separables, como la del ejemplo anterior, y la solución del problema de valor inicial viene dada por la exponencialdecreciente:, cuya gráfica, para algunos valores de λ, se representa en la siguiente figura.

Obsérvese que cuanto más grande sea λ, mas rápidamente se desintegra la sustancia. Obsérvesetambién que, para conocer el valor del coeficiente λ de una sustancia determinada, basta conocer el valor de A (t) en dos instantes distintos. Por ejemplo, sabiendo que A (0) = A0 y A(t1) = A1, se tiene, por un lado A (t) = A0e −λt, ∀ t ≥ 0.
Bibliografía:
Anna Doubova - Rosa Echevarría - Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico - Univ. Sevilla