Derivadas de funciones trigonométricas

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
AMPLIACIÓN – GUARENAS
CÀTEDRA: MATEMATICA (SAIA)

MATEMATICA III
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Autores: Luis Rafael LeónC.I: 11.482.570
Alexander Sojo
C.I. V-12.829.638
José G. Pérez
C.I. V-17.118.856

Profesor: Roxana Tovar

Guarenas, 24 de Octubre del 2.011

Introducción

La derivación de las funcionestrigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sin(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sin(x) en cada punto x.Derivadas de Funciones Trigonométricas
La derivada de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, las derivadas de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando lafunción f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.
Las derivadas de las funciones trigonométricas se presentan de esta manera: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. 

Derivadas de funciones trigonométricas básicas
 
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Derivada de la función trigonométricas seno

A partir de la definición de la derivada de unafunción f(x)

Por tanto si f(x) = sin(x)

A partir de la identidad trigonométrica sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), se puede escribir

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

Reordenando los términos y el límite se obtiene

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

El valor de los límites

Son 1 y 0respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),

Derivada de la función trigonométricas coseno

Si f(x) = cos(x)

A partir de la identidad trigonométrica cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), se puede escribir

Operando se obtiene

Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

El valor de los límites

Son 1 y 0respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

Derivada de la función trigonométricas tangente

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, , se puede escribir como

y , entonces la regla dice que la derivada de  es igual a:

A partir de la identidad trigonométrica

haciendo:

sustituyendo resulta

Operando

y aplicando las identidadestrigonométricas

Resulta

Derivada de la función trigonométricas arcoseno
Tenemos una función , que también se puede expresar como . Derivando implícitamente la segunda expresión:

Tenemos además que  , i que . Sustituyendo, tenemos la fórmula final:

Ejemplo #1
y = csc(x)cot(x)

y' = ( − csc(x)csc2(x)) − cot(x)csc(x)cot(x)

y' = − csc(x)csc2(x) − cot2(x)csc(x)

y' = − csc3(x)− cot2(x)csc(x)

Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas
Conviene recordar que:
a.
Si una función es continua y estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo, entonces posee función inversa la cual también es continua y estrictamente creciente (decreciente). 
b.
Las funciones trigonométricas son periódicas por lo que la correspondencia entre la variable independiente y...
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