Derivadas eintegrales

Matemática Aplicada

Unidad II

INTEGRALES: APLICACIONES MECÁNICAS

1.

MOMENTOS 1.1. MOMENTOS DE PRIMER ORDEN Se denomina momento de primer orden de un punto material A de masa m situado a una distancia d del eje l, con respecto a este mismo eje l, a la magnitud Ml:

m2 m1 d2
masa m d Recta l

Ml 

m d
i1

n

i i

d1

m3 d3 Recta l

Ml  md
d4 m4

Figura 1.1.2.

CENTRO DE MASAS O DE GRAVEDAD El centro de masas (o de gravedad) de un conjunto de n magnitudes semejantes
3
n

,
1
3

2

,



3

, …



n

situadas en los puntos

P, P,
1
2

P ,…..P Cuyos vectores de posición respecto a un punto O seleccionado
son

r , r , r ,…. r
1

2

n

tiene un vector de posición definido como:

r

r
n i1 n i

i

i1

i

25

Matemática Aplicada

TECSUP – PFR

Donde:

=
i

Magnitud i. Puede ser un elemento de Longitud, Area,

Volumen o Masa.

r

i

= = =

Vector de Posición del elemento i. Suma de toda la n elementos. Momento de PRIMER ORDEN de todos los elementos


n i1
n i1 i

i

r

i

El centro de gravedad del conjunto tiene coordenadas:

x

x
n i1 ni

i


i1

,

y

y
n i1 n i

i

i


i1

,

z

z
n i1 n i

i

i


i1

i

1.3.

CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA MAGNITUD CONTINUA El centro de gravedad de una magnitud continua puede situarse mediante el cálculo utilizando elementos infinitesimales de la magnitud como dL para una línea, dA para un área, dV para un volumen o dm para una masa.

xdm, x  dm

ydm , y  dm

zdm z  dm

Donde los momentos de primer orden de Longitud, Área, Volumen o Masa son respectivamente: Momentos de Primer Orden Línea Area Volumen Masa
 xdl
 ydl  ydA

Unidades

 zdl

 xdA
 xdV

 ydV

 zdA  zdV
 zdm

L L
L

2

3
4

 xdm

 ydm

mL

26

TECSUP – PFR

Matemática Aplicada

1.4.

TEOREMA DE PAPPUS YGULDIN El área de una superficie generada, haciendo girar un poco de una curva plana alrededor de un eje que no le corta y situado en su plano, es igual al producto de la longitud del arco por la distancia recorrida por el centro de gravedad del arco durante la generación del área.

C (x,y) LARCO r

A  L ARCO ( 2r )

EJE DE GIRO

L CENTRO DE GRAVEDAD DEL ARCO  2 r

Figura 2.

Elvolumen de un sólido generado, haciendo girar un área plana alrededor de un eje que no la corta situado en su mismo plano, es igual al producto del área por la distancia recorrida por el centro de gravedad del área durante la generación del volumen.

V = VOLUMEN
Area

V  Area(2r )
C (x,y)

r

EJE DE GIRO

L

CENTRO DE GRAVEDAD

 2r
Figura 3.

1.5.

APLICACIONES CENTRO DEGRAVEDAD DE UNA FIGURA HOMOGÉNEA

27

Matemática Aplicada

TECSUP – PFR

M y  lim   i f (  i )  x i 
Y
x  0



b

a

xf ( x ) dx  A x

A
f (i )

x 

My A

X a

i

i
x i1

b
xi

Figura 4.

Donde:

 i = Abcisa del centro de gravedad de la i-ésima franja. (Paralela al eje
Y)

x i  x i1  x i
if (i )xi = Momento de un elemento de árearespecto al eje Y
M y = Momento del área A con respecto al eje Y

Mx  lim  ih( i )y i 
y 0



d

c

yh( y )dy  A y

y

Mx A

g( i )

y i y i1

yi

A
a b
h( i )  b  g( i )

i

X

Figura 5.

Donde:

 i = Ordenada del centro de gravedad de la i-ésima franja. (Paralela al
eje X)

28

TECSUP – PFR

Matemática Aplicada

yi  yi1  yiih(i )yi = Momento de un elemento de área respecto al eje X
MX = Momento del área A con respecto al eje X
Nota: El CENTRO DE GRAVEDAD de un cuerpo es el punto donde se supone concentrado el peso del cuerpo y en CENTROIDE es el punto que solo toma en cuenta la parte geométrica sin interesar las diversas densidades del cuerpo. EJEMPLO 1 Para la sección rectangular de base b y altura h situada en...