Derivadas Logaritmicas Exponenciales

CAPÍTULO 7

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

7.1 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS (Áreas 1, 2 y 3)
Una función exponencial es aquella en la que la variable está en el exponente. Ejemplos
de funciones exponenciales son
y = 2x
y = 45x
y = 82x + 1
y = 10x - 3
Antes de entrar de lleno en el estudio de las funciones logarítmicas conviene repasar el
concepto de logaritmo, yaque es frecuente que los estudiantes lleguen a este momento sin recordar qué son los logaritmos o, en el caso más extremo, sin haberlos estudiado nunca durante su
carrera estudiantil.
En Matemáticas toda operación o todo proceso tiene su inverso, su camino de retorno al
punto inicial. Por ejemplo, si a 4 se le suma 3 se llega al 7; el retorno del 7 al 4 es restar 3. El
retorno de lamultiplicación es la división, etc. De manera que si se tienen las siguientes potencias:
1)
2)

23 = 8
32 = 9

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Funciones exponenciales y logarítmicas

3)
4)
5)

54 = 625
102 = 100
103 = 1000

etc.

si se pregunta ¿Cuál es el inverso (el camino de retorno) de cada una de ellas? por inercia el estudiante responde conforme a la siguiente tabla:

Potencia

Inverso
3

23 = 8

9=3

32 = 9
4

54 = 625

625 = 5

100 = 10

102 = 100
103 = 1000

8 =2

3

1000 = 10

lo cual es cierto. Sin embargo, obsérvese que en cada potencia (primera columna) se tienen dos
cantidades, la base y el exponente, y en la tabla anterior el retorno se hizo hacia la base. ¿No podría haber sido el retorno hacia el exponente? Dicho de otra forma: ¿Cómo hacer para regresar alexponente, en vez de a la base? Allí es donde aparece el concepto de logaritmo.
Cuando se tiene la potenciación
ak = c
donde a, k y c son cualquier número (son tres cantidades las que intervienen: la base, el exponente y el resultado), a partir del resultado c existen dos posibilidades de regreso, uno hacia la

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Funciones exponenciales y logarítmicas

base y otro hacia el exponente.Para regresar a la base se emplea la raíz k-ésima 1 de c; para regresar al exponente se emplea el logaritmo base a de c. En ambos casos la “operación raíz” o la
“operación logaritmo” se le aplica al resultado c de la potenciación; además, se debe hacer intervenir a la tercera cantidad, en el primer caso para señalar el índice del radical, en el segundo caso
para señalar la base.
Volviendo alejemplo de la tabla anterior, existen dos caminos de retorno, uno hacia la
base y otro hacia el exponente. Cuando es a la base, se emplea la raíz k-ésima, cuando es al exponente se emplea el logaritmo base a:

Potencia

Regreso a la base

8 =2

log 2 8 = 3

9 =3

log 3 9 = 2

625 = 5

log 5 625 = 4

100 = 10

log 10 100 = 2

1000 = 10

log 10 1000 = 3

3

23 = 8
32 = 9
454 = 625
102 = 100
103 = 1000

Regreso al exponente

3

De manera que la definición de logaritmo es:

1

En el idioma Español, para denotar los números ordinales se emplea la terminación ésimo. Así, el ordinal de 20 es
vigésimo; el de 70 es septuagésimo; el de 200 es bicentésimo; el de 700 es septingentésimo, el de 834 es octingentésimo trigésimo cuarto, etc. Cuando se habla entérminos genéricos suele emplearse la letra k o la letra n
para referirse a cualquier número. De tal manera que el ordinal de un número genérico k es k-ésimo; el ordinal
de un número genérico n es n-ésimo . Es una grave incorrección decir veinteavo en vez de vigésimo, o setentavo
en vez de septuagésimo.

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El logaritmo de un número n es el exponenteal que debe elevarse la
base para obtener dicho número n.

Como los logaritmos pueden ser base de cualquier número, habría un número infinito de
diferentes logaritmos, por lo que en algún momento los matemáticos acordaron emplear solamente dos tipos de logaritmos:
a)

los logaritmos base diez (por tratarse de un sistema decimal), llamados logaritmos
vulgares o logaritmos decimales,...