Derivadas parciales para funciones de n variables

DERIVADAS PARCIALES PARA FUNCIONES DE N VARIABLES.

Sea y = f (x1; x2; x3;......x n) una aplicación R n  R1 y sea hj el incremento de la variable xj.
Formemos el incremento de la función cuando la variable xj se incrementa en hj:
jy = f (x1; x2; x3; . . . xj + hj; . . . xn ) - f (x1; x2; . . . xn)

El cociente incremental será:

Considerando el límite para hj  0 será:



Habrán derivadas parciales primeras, correspondientes a los n valores que puede tomar j.

DEFINICION: Una función es derivable cuando existen las derivadas parciales con respecto a cada una de las variables independientes.

RELACION ENTRE LA DERIVABILIDAD Y LA CONTINUIDAD

Demostraremos un teorema que relaciona la continuidad de una función con su derivabilidad. Para demostrarlo, es convenienterecordar el teorema del valor medio o de Lagrange o del incremento finito, para funciones de una variable.

Si la función y = f(x) es continua en el intervalo [a, b] y con derivada única (finita o infinita) en todo punto de (a , b), hay por lo menos un punto interior  , / (Lagrange)


o sea: y = x . f ’() y llamando x = h será b - a = h ; b = a + h de donde :

con 0<  < 1 ya que  está comprendido entre a y b.
TEOREMA
Si la función es derivable en un recinto S y además las derivadas parciales primeras son acotadas en S, entonces es continua en S.
Aclaración : Una función es acotada en un recinto S, cuando es posible hallar un número M no nulo y finito, tal que el valor absoluto de la función se mantenga en ese recinto, siempre menor que M, osea

DEMOSTRACION

Demostraremos el teorema para funciones de dos variables independientes, dado que su generalización es inmediata.
El incremento total de la función cuando x e y se incrementan en h y k, respectivamente es: Sumamos y restamos f(x + h , y) luego:
(2)
El primer paso es considerar que:

en donde 0 <  < 1 y
con 0 < ’ < 1

Reemplazandoestas ecuaciones en (2) se tiene :

o sea, considerando valor absoluto:

luego, como y son acotadas será:
y en consecuencia,
o sea que cuando

con lo que se demuestra que Z = f (x , y) es continua, ya que su incremento tiende a cero cuando los incrementos de las variables independientes tienden a cero.

De este teorema se desprende que no basta conque una función f(x , y) sea derivable en un recinto, para garantizar su continuidad, sino que además es necesario que las derivadas parciales sean acotadas en dicho recinto.

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Consideramos una función Z=f(x;y) de la cual hemos definido las derivadas parciales de primer orden.




que son en general nuevas funciones de x , y.
Si estas funcionesadmiten a su vez derivadas, las nuevas funciones así definidas se llaman DERIVADAS SEGUNDAS de f(x , y); las derivadas de las derivadas segundas se llaman derivadas terceras de f(x , y) ;etc. Dada la función Z = f(x , y) tenemos cuatro derivadas parciales segundas:




Habrá ocho derivadas terceras, correspondientes a la derivación con respecto a x e y de las cuatro derivadas segundas:En general para una función Z = f(x , y) de dos variables independientes hay 2 r derivadas de orden “r”, pero como veremos que bajo ciertas condiciones pueden haber algunas que son iguales entre sí, podemos afirmar que en general el número de derivadas de orden “r”distintas, es menor que el citado.
Existe un teorema que determina las condiciones bajo las cuales ; únicamente enunciaremos elmismo:

TEOREMA DE SCHWARTZ
Si existen en un entorno del punto (x;y) y si es continua en dicho entorno, entonces existe y es igual a

COROLARIO DE BONET Si son continuas en un entorno del punto (x ,y) entonces .Estas hipótesis incluyen a las de Schwartz, es decir son una consecuencia de ellas.

DIFERENCIABILIDAD

Recordemos el concepto de diferenciablidad para funciones de...