Derivadas parciales


Aplicaciones de las derivadas parciales en la Ingeniería Mecánica

Mecánica de fluidos
La mecánica de fluidos estudia el movimiento de los gases y líquidos, así como las fuerzas que loprovocan. También estudia las interacciones entre el fluido y el contorno que lo limita.
La hipótesis fundamental en la que se basa toda la mecánica de fluidos es la hipótesis del medio continuo. En estahipótesis se considera que el fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando por tanto su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a esta. Con esta hipótesis se puedeconsiderar que las propiedades del fluido (densidad, temperatura, etc.) son funciones continuas.
Para la descripción matemática del fluido tomaremos las siguientes condiciones:
a) El fluido ocupa undominio D ---> R2 o R3
b) Se cumple la hipótesis del medio continuo
c) A cada tiempo t las particulas del fluido tienen una correspondencia biyectiva con las coordenadas x = (x1; x2; x3) ∈ D
Encuanto a funciones:
Campo de velocidades u(x; t) = (u1(x; t); u2(x; t); u3(x; t)) que determina
la velocidad que tiene una partícula en cada punto x ∈ D y en cada tiempo
t ∈ R
Las presiones p =p(x; t) en el seno del fluido.
La densidad, ρ = ρ (x; t), del fluido.
Para interpretar el fluido, es usual calcular la variación de sus características a lo largo de la trayectoria.
Dada unapartícula α, su trayectoria será representada por X(α,t) con X(α,0) = α
Su velocidad será
d X(α,t) / dt = u (X(α,t))

Para que se cumpla la incompresibilidad del fluido debe mantenerse constante elvolumen a lo largo del tiempo.
X (α,t) es incompresible si
. u = 0

Las ecuaciones que rigen toda la mecánica de fluidos se obtienen por la aplicación de los principios de conservación de lamecánica y la termodinámica a un volumen fluido. La Segunda Ley de Newton, la conservación de la masa, junto con la incompresibilidad dan lugar a las ecuaciones de Navier – Stokes.
Las ecuaciones...