Derivadas Parciales

An´lisis Matem´tico II. Curso 2009/2010.
a
a
Diplomatura en Estad´
ıstica/Ing. T´c. en Inf. de Gesti´n. Universidad de Ja´n
e
o
e

´
TEMA 3. DIFERENCIACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1.

Derivadas parciales

Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una funci´n de
o
varias variables respecto a una de sus variables independientes se utiliza el
proceso dederivaci´n parcial.
o
´
´
Definicion 1.1 (Derivadas parciales de una funcion de dos variables). Si z = f (x, y) las primeras derivadas parciales de f con respecto a
las variables x e y son las funciones definidas como
∂z
∂f
f (x + h, y) − f (x, y)
=
(x, y) = fx (x, y) := l´
ım
,
h→0
∂x
∂x
h
∂f
f (x, y + h) − f (x, y)
∂z
=
(x, y) = fy (x, y) := l´
ım
,
h→0
∂y
∂y
h
siempre ycuando el l´
ımite exista.
´
Observacion 1.1. La definici´n indica que para calcular ∂f se considera
o
∂x
y constante derivando con respecto a x y para calcular ∂f se considera x
∂y
constante derivando con respecto a y. Pueden aplicarse por tanto las reglas
usuales de derivaci´n.
o
Ejemplo 1.1.
3x3 y 4 .

1. Calcular las derivadas parciales de f (x, y) = yx2 +

2. Dada f (x, y) = xex1.1.

2y

hallar fx , fy y evaluarlas en (1, ln(2)).

Interpretaci´n geom´trica de las derivadas paro
e
ciales

Si y = y0 entonces z = f (x, y0 ) representa la curva intersecci´n de la
o
superficie z = f (x, y) con el plano y = y0 . Por tanto
fx (x0 , y0 ) = pendiente de la curva intersecci´n en (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
o

An´logamente, f (x0 , y) es la curva intersecci´n de
ao
z = f (x, y) (superficie)
x = x0
(plano)
y entonces
fy (x0 , y0 ) = pendiente de la curva intersecci´n en (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
o
∂f
∂f
(x0 , y0 ),
(x0 , y0 ) denotan las pendientes de
∂x
∂y
la superficie en las direcciones de x e y, respectivamente.
Diremos que los valores

Ejemplo 1.2. Hallar las pendientes en las direcciones de x e y de la superficie
dada por f (x, y) = 1 −x2 y + xy 3 en el punto (1,2,7).
Las derivadas parciales tambi´n se pueden interpretar como tasas, velocie
dades o ritmos de cambio.
Ejemplo 1.3. La temperatura en un punto (x, y) de una placa de acero es
T (x, y) = 500 − 0.6x2 − 1.5y 2 , donde x e y se miden en metros. En el punto
(2, 3) hallar el ritmo de cambio de la temperatura respecto a la distancia
recorrida en las direcciones de losejes X e Y .
Ejercicio 1.1. Calcular las derivadas parciales de f (x, y, z, w) =

1.2.

xy+yz+xz
.
w

Derivadas parciales de orden superior

Como sucede con las derivadas ordinarias es posible hallar las segundas,
terceras... derivadas parciales de una funci´n de varias variables, siempre que
o
tales derivadas existan.
Por ejemplo la funci´n z = f (x, y) tiene las siguientesderivadas parciales
o
de segundo orden:
fxx

∂2f
∂
=
=
∂x2
∂x

∂f
∂x

(Derivar dos veces respecto a x)

fxy =

∂2f
∂
=
∂y∂x
∂y

∂f
∂x

(Derivar respecto a x, luego respecto a y)

fyx =

∂2f
∂
=
∂x∂y
∂x

∂f
∂y

(Derivar respecto a y, luego respecto a x)
2

fyy =

∂
∂2f
=
∂y 2
∂y

∂f
∂y

(Derivar dos veces respecto a y)

Ejemplo 1.4. Calcular lasderivadas parciales de segundo orden de f (x, y) =
3x2 y + xy 3 − 2x. Determinar el valor de fx,y (1, 2).
Teorema 1.1 (Igualdad de las derivadas parciales mixtas). Si
f (x, y) es tal que fxy y fyx existen y son continuas en un disco abierto D
entonces
fxy (x, y) = fyx (x, y) ∀(x, y) ∈ D.
Ejemplo 1.5. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) =
xey + sen(xy). Comprobar quelas derivadas parciales mixtas coinciden.

2.

Diferenciaci´n de funciones de dos vario
ables
Para una funci´n de una variable f (x) se define la derivada como
o
f (a + h) − f (a)
.
h→0
h
Esto quiere decir que para h peque˜o
n
f (a) := l´
ım

f (a + h) − f (a)
⇐⇒ f (a + h) ≈ f (a) + f (a)h
h
y por tanto la recta tangente es una buena aproximaci´n de la funci´n f
o
o
cerca...