Derivadas parciales

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Introducci´n a las Ecuaciones o en Derivadas Parciales (EDP’s)

Sixto Romero Francisco J. Moreno Isabel M. Rodr´ ıguez

T´ ıtulo de la obra original Introducci´n a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales o (EDP’s)

c Copyright: 2001. Autores Sixto Romero, Francisco J. Moreno, Isabel M. Rodr´ ıguez

Reservados todos los derechos de publicaci´n, repreducci´n, pr´stamo ocualquier otra o o e forma de expresi´n de este ejemplar, por los autores. o

Universidad de Huelva Escuela Polit´cnica Superior de La R´bida e a 21819. Palos de la Frontera 8Huelva)

Edita:Servicio de Publicaciones. Universidad de Huelva Printed in Spain ISBN: DL: Fotocomposici´n: Los autores o Impresi´n: o

´ Indice general
1. Nociones sobre las ecuaciones en derivadas parciales (EDP’s) 91.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 o 1.2. Definici´n. Algunos conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 o 1.3. Significado geom´trico de las soluciones general y particular . . . . . . . . . . 15 e 1.4. EDP’s que surgen de la eliminaci´n de funciones arbitrarias . . . . . . . . . . 17 o 1.5. Ejercicios propuestos . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2. Ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales. Propiedades 25

2.1. Ecuaci´n en derivadas parciales lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 o 2.2. Propiedades de las soluciones de las EDP . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 27 2.3. Clasificaci´n de las EDP’s de segundo orden de dos variables independientes . 29 o 2.4. Condiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.1. Ecuaciones de tipo hiperb´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 o 2.5.2. Ecuaciones detipo parab´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 o 2.5.3. Ecuaciones de tipo el´ ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.6. Planteamiento de problemas para las EDP’s de segundo orden . . . . . . . . . 33

3

4

´ INDICE GENERAL

2.7. M´todo de separaci´n de variables: caso pr´ctico . . . . . . . . . . . . . . . . 33 e o a 2.8. Teoremas . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.8.1. M´todo de separaci´n de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 e o 2.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3. Ecuaciones de tipo hiperb´lico o 45

3.1. Introducci´n . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 o 3.2. Problemas que dan lugar a vibraciones u oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.1. Problema de la cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.2. Modelo matem´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 a 3.2.3. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 51 3.2.4. Generalizaci´n del problema de la cuerda vibrante . . . . . . . . . . . 52 o 3.3. Ecuaci´n ondulatoria unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 o 3.3.1. Soluci´n del problema de Cauchy (problema inicial) para una cuerda o ilimitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.2. Casos particulares de la f´rmula de D’Alembert . . . . . . . . . . . . 58 o 3.3.3. ¿C´mo se debe plantear el problema de forma correcta ? . . . . . . . 61 o

3.3.4. Ejemplo de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.5. Otro ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.5....
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