Derivadas y antiderivadas

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ISSN: 1887-1984 Volumen 70, abril de 2009, páginas 67–74

Derivadas y Antiderivadas
Félix Martínez de la Rosa (Universidad de Cádiz)
Fecha de recepción: 6 de octubre de 2008 Fecha de aceptación: 13 de abril de 2009

Resumen

Se analizan algunos resultados relacionados con la función derivada, y se aplican al estudio de la derivabilidad yantiderivabilidad de funciones Continuidad, Derivada, Antiderivada, Darboux, Cálculo

Palabras clave

Abstract

There are analyzed some results related to the derivative function, and are applied to the study of the derivability and antiderivability of functions Continuity, Derivative, Antiderivative, Darboux, Calculus

Keywords

1. Introducción
Los resultados que exponen las propiedades de lasfunciones continuas y derivables son piezas claves, tanto en las asignaturas de matemáticas en el bachillerato como en los cursos iniciales de Cálculo. Dentro del conjunto de esas propiedades, el teorema de los valores intermedios para funciones continuas, el teorema de Rolle y el del valor medio para funciones derivables se sitúan en lugares destacados. Esto es así porque con ellos, logramos comprendery visualizar el comportamiento de esas funciones en un intervalo. Además nos abren las puertas a todo un abanico de teoremas que desarrollan el análisis de esas funciones. Existen dos enunciados que describen la relación entre la continuidad y la derivabilidad: a) Si f es derivable en x0 , entonces f es continua en x0 b) Si f es continua en [ a, b] , entonces f es una derivada. El apartado a) norequiere muchas más explicaciones. El apartado b) se refiere al hecho de que exista una función F que verifique f = F ' . A esta función F se le denomina la antiderivada o primitiva de f . Si f es continua, sabemos que el apartado b) es cierto, por el teorema fundamental del Cálculo integral. Los resultados recíprocos de éstos dos resultados no se cumplen. Sin embargo, mientras que no hay ningunaduda de que una función continua no tiene porqué ser derivable, existe cierta confusión en lo que se refiere al recíproco de b). De la igualdad f = F ' :

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Derivadas y antiderivadas
F. Martínez de la Rosa

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¿Podemos deducir que f es continua? ¿Puede existir F aunque f no sea continua? ¿Cualquier tipo de discontinuidad de fpermite que exista F ?

En este artículo, mostraremos los resultados relacionados con estas cuestiones, y los aplicaremos al estudio de la derivabilidad de funciones continuas y a la existencia de la antiderivada de una función. El artículo se divide en tres partes: En la primera, se muestran los resultados teóricos relativos a las propiedades de una función derivada. En la segunda, se utilizan esosresultados en el análisis de la derivabilidad de funciones continuas. En la tercera, abordamos el análisis de la antiderivabilidad de funciones desde dos puntos de vista: gráfico y analítico.

2. Resultados teóricos
El primer resultado que ofrece información sobre las características de una función derivada puede encontrarse en el conocido libro (Spivak, M., 1986, p.262). En él se muestra unaprimera relación entre la existencia de la derivada de una función en un punto y la continuidad de la función derivada en ese punto: Teorema 1 Supongamos que una función F es continua en x0 , y que F ' ( x ) existe para todos los x de algún intervalo que contiene a x0 , excepto posiblemente x = x0 . Supongamos, además, que existe
x→ x0

lim F ' ( x) . Entonces existe también F ' ( x0 ) y severifica que F ' ( x 0 ) = lim F ' ( x) .
x→ x0

Notas sobre el teorema 1. El teorema 1, arroja la primera luz acerca de la función derivada de una función continua: si lim F ' ( x) existe entonces la función derivada F ' es continua en x0 .

x→ x0

Interpretación visual: si en la gráfica de una función f definida en un intervalo se aprecia una discontinuidad evitable, entonces f no es de la...