Antiderivadas

ANTIDERIVADAS

CUADERNILLO DE TRABAJO INDEPENDIENTE
Jorge Agudelo Quiceno Yolanda Álvarez Ríos

El problema de hallar una función cuya derivada es conocida, está presente en muchas áreas del conocimiento.
Un ingeniero que conoce la velocidad a la que se deforma una determinada estructura requiere encontrar la deformación total sufrida por la misma en cierto periodo. Un administrador queconoce la rapidez a la cual se deprecia cierta máquina, puede interesarse en determinar el valor de la misma en un instante cualquiera.
EL concepto de antiderivada es el que permite resolver estas y muchas otras situaciones, de ahí su utilidad en múltiples contextos.

Definición 1: Sea f una función definida en un intervalo I⊆R. Una función F tal que F'x=fx ∀ x∈I es una Antiderivada de f.Sea fx=2x. Las funciones x2-12x2-1x2-2x2x2+2x2+0.25

de acuerdo con la definición anterior son antiderivadas de la función f ya que la derivada de cada una de ellas es fx=2x.

ACTIVIDAD 1

COMPRENSIÓN DEL CONCEPTO

¿Qué diferencia observa entre las antiderivadas anteriores?

¿Las funciones x2+2x, x2-3x+8 y 4-x2 son antiderivadas de f? Justifique.

Sean gx=4x3 y hx=ex. Escribacinco antiderivadas de cada una de ellas.

Definición 2: Sea F una antiderivada de f. La antiderivada o integral indefinida de f, denotada por fxdx está dada por Fx+C donde C es una constante arbitraria denominada constante de integración.

Se escribe,
fxdx=Fx+C

El lado izquierdo de la igualdad anterior se lee: “Integral de f(x)”. En ella dx indica la variable con respecto a la cual serealiza el proceso de integración.

De acuerdo con la definición 2 se sigue que 2xdx=x2+C.

Al integrar una función dada se encuentran todas las antiderivadas de dicha función, las cuales constituyen una familia de funciones que tienen algunas características geométricas comunes.

En adelante se usa el término integrar en lugar de antiderivar.

ANÁLISIS GRÁFICO

Fx=x2+C es la integral dela función fx=2x. Al variar la constante C se obtiene una familia de funciones cuyos gráficos se ilustran a continuación.

Gráfico No. 1

Del gráfico se infieren las siguientes características geométricas y analíticas que son comunes a cada una de las funciones que conforman la familia

Todas son parábolas cóncavas hacia arriba, ya que el coeficiente del término x2 es positivo
Ninguna delas curvas se cortan entre ellas
Para cualquier punto de la curva en que la abscisa es mayor que cero, por ejemplo x=1 las pendientes de las rectas tangentes en dichos puntos son positivas ya que fx>0 para x>0.
Análogamente para cualquier punto de la curva en que la abscisa es menor que cero, por ejemplo x=-1 las pendientes de las rectas tangentes en dichos puntos son negativas ya quefx<0 para x<0.

Gráfico No. 2

Para un valor dado x, las rectas tangentes a cada curva en el punto x,Fx son paralelas, puesto que tienen la misma pendiente. Por ejemplo, en el punto 1,F1
mtan=F'1=f1=21=2

Para fx=2x es claro que:

fx=0 en x=0
fx>0 para x>0
fx<0 para x<0

Por lo tanto las antiderivadas tienen un mínimo en el punto 0,F0, son crecientes enel intervalo 0,∞ y decrecientes en el intervalo -∞,0

ACTIVIDAD 2

Dadas las siguientes funciones realice el siguiente trabajo:

* Hallar la antiderivada de la función dada en su dominio.
* Grafique tres funciones que pertenezcan a la familia de antiderivadas.
* Analice las similitudes y diferencias que se presentan entre las gráficas de cada familia estableciendo conexionesentre los dos procesos que se realizan el de derivación e integración.

* fx=-12x2
* fx=-3x4
* fx=cosx x∈0,2π.
* fx=1x x>0

ACTIVIDAD 3: REGLAS DE INTEGRACIÓN

Observe y analice la conexión entre la derivación y la integración

1. Si ddx4x=4 Entonces por la definición de antiderivada se sigue que 4dx=4x+C.

2. ddx-53x=-53-53dx=-53x+C

3. ddxπx=ππdx=πx+C

Proponga...