Antiderivada

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ANTIDERIVADAS
La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.
Por ejemplo:
Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una anti derivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra anti derivada de f(x).La anti derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.
Notación
La notación que emplearemos para referirnos a una anti derivada es la siguiente:
[pic]
Teorema
Si dos funciones h y g son anti derivadas de una mismafunción f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.
 [pic][pic]
[pic]
Conclusión: Si g(x) es una anti derivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier anti derivada de f es en ese conjunto D se puede escribir como[pic]c constante real.
Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida
[pic]
A la hora deresolver una anti derivada o integral indefinida se deben tener disponibles los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son:
Concepto.
Propiedades.
Reglas de integración.
Integrales inmediatas.
Métodos clásicos de integración:
-Integración por sustitución.
-Integración por partes.
-Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.
Uso de tablas.
Integración de funcionestrigonométricas sencillas.
Integración de funciones racionales sencillas.
PROPIEDADES DE INTEGRALES INDEFINIDAS DE UN FUNCIÓN
Las propiedades de integrales indefinidas de una función se basan en las propiedades de las derivadas ya que cualquier propiedad de las derivadas implica una propiedad correspondiente en las anti derivada.
La Integral indefinida cumple con propiedades de linealidad, esdecir:
[pic]
 * f y g son dos funciones definidas en un conjunto R de números reales
* [pic]Anti derivada.
* k es un número real.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS (Absolutos y relativos)
Un máximo que no esté en los extremos la función tiene que pasar de creciente a decreciente y que en los mínimos que no están en los extremos la función tiene que pasar de ser decreciente a ser creciente.
También se puededefinir de la siguiente manera:
Sea a un punto del dominio de definición de f, diremos que en a se alcanza:
a) Un máximo relativo si [pic]b) Un máximo absoluto si [pic]c) Un mínimo relativo si [pic]d) Un mínimo absoluto si
[pic]
TRAZADOS DE CURVAS
CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA
Criterio de la primera derivada:
Se procede de la siguiente forma:
. Se halla la segunda derivada, seiguala a cero y se resuelve la ecuación resultante.
. Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos.
. Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.
Criterio de la segunda derivada:
Este procedimiento consiste en:
. Calcular la primera y segunda derivadas
. Igualar la primera derivada a cero y resolver laecuación.
. Sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.
. Sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.
MONOTONÍA
* Función Creciente. Si la función f(x) derivable en (a, b), entonces: f(x) creciente en [pic]
[pic]
* Función Decreciente
Si lafunción f(x) derivable en [a, b], entonces: f(x) es decreciente en [pic]
CONCAVIDAD
Una función f es cóncava hacia arriba (o convexa) en un punto a si la gráfica de la función se queda en un intervalo de centro a por encima de la recta tangente a la gráfica en (a,f(a)), es decir, si [pic]es la ecuación de la recta tangente en un punto (a,f(a)) se tiene que f es cóncava hacia arriba en el punto...
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