Derivadas Y Aplicacion

Definición de derivada

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente setoma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
La derivada de una función f, es una función denotada por tal que para cualquier x del dominio de f está dada por:

si este límite existe.
Si es un número del dominio de f, entonces:

si este límite existe.
El proceso de calcular la derivada de una función se denomina derivación odiferenciación, es decir, la derivación o diferenciación es el proceso mediante el cual se obtiene a partir de f. Si una función tiene derivada en todo su dominio, se dice que es una función diferenciable.
Ejemplo: Determine la derivada de aplicando la ecuación (B).
Solución:

Incremento
Sea f una función que es continua en Para definir la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f enel punto consideremos un intervalo abierto I que contiene a Sea otro punto sobre la gráfica de f tal que esté contenido en I. La recta que pase por los puntos P y Q se denomina recta secante.

Figura 1: incremento de la derivada

Observe que es el cambio del valor x de a llamado incremento de x, y es el cambio del valor de de a llamado incremento de y.
La pendientede la recta que pasa por los puntos P y Q de la curva de la figura 3.1, está determinada por:

Como la pendiente puede escribirse así:

Consideremos ahora el punto P como un punto fijo, y que el punto Q se mueve a lo largo de la curva hacia P. Esto es igual a decir que tiende a cero. Si esto sucede la recta secante gira sobre el punto P hasta convertirse en una recta tangente a la curva en elpunto P, por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en dicho punto puede ser calculada mediante la siguiente ecuación:

"La notación nos indica que la pendiente que calculemos con la ecuación (A) es la de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto" .
Diferenciales
Una función con dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto si su derivada existeen ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en todos los puntos del intervalo.
Si una función es diferenciable en un punto, la función es continua en ese punto. Sin embargo, una función continua en, puede no ser diferenciable en dicho punto. En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco.
La derivada de una función diferenciablepuede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido, la derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.
Si una función f es diferenciable en un punto entonces, f es continua en
Una función f puede no serdiferenciable en por alguna de las siguientes razones:
1. La función es discontinua en (Ver figura 2)
2. La función es continua en pero la gráfica de f tiene una recta tangente vertical en el punto donde (Ver figura 3)
3. La función f es continua en pero la gráfica de f no tiene recta tangente en el punto donde (Ver figura 4). La continuidad no implica diferenciabilidad.

Figura 2 y 3: diferenciales dela derivada.

Figura 4 y 5: diferencial de la derivada

La figura 5 muestra la gráfica de una función que no es diferenciable en los puntos donde y La gráfica está compuesta por tres curvas. En el punto se han trazado las siguientes rectas: T1 tangente a la curva de la izquierda y T2 tangente a la curva central, las cuales evidentemente tienen pendientes diferentes. Igualmente se han...