Derivadas

Ejemplo algebraico

Por ejemplo si y = f(u) es una función derivable de u y si además u = g(x) es una función derivable de x entonces y = f(g(x)) es una función derivable con:\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

o también

\frac{d}{dx} [f(g(x))]=f '(g(x))\cdot g'(x)

[editar] Ejemplo 1

y = \ln {u} \,
u = \cos {x} \,

y queremos calcular:\frac{dy}{dx} \,

Por un lado tenemos:

\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} \,

y

\frac{du}{dx} = - \sin{x} \,

si:

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

entonces:\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot (- \sin{x}) = \frac{- \sin{x}}{u} = \frac{- \sin{x}}{\cos {x}} = -\tan{x}

Si definimos como función de función:

y = \ln {u} \,
u = \cos {x} \,resulta que:

y = \ln ({\cos {x}}) \,

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos{x}} \cdot (-\sin{x}) = \frac{-\sin{x}}{\cos{x}} = -\tan{x}

con el mismo resultado.
[editar] Ejemplo 2

Tenemosf(x)=9sen^{16}\left(\frac{x^2 - 6x + 9}{x + 8}\right) la cual se puede definir como función compuesta. Si desglosamos la función compuesta quedaría:

y = 9a; a=b^{16}; b=sen c; c=\frac{x^2 - 6x +9}{x + 8}, cuyas derivadas serían:
y' = 9; a' = 16b^{15}; b'=cos c; c'=\frac{x^2 + 16x - 57}{x^2 + 16x + 64}

Con la regla de la cadena, esto sería:\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{da}\cdot\frac{da}{db}\cdot\frac{db}{dc}\cdot\frac{dc}{dx}

Los cuales corresponden a las derivadas anteriormente extraídas.

\frac{dy}{dx}=y'\cdot a'\cdot b'\cdot c'
\frac{dy}{dx}=9\cdot 16b^{15}\cdotcos c\cdot \frac{x^2 + 16x - 57}{x^2 + 16x + 64}

Se reemplazan las letras b y c por sus valores NO derivados, no confundir.

\frac{dy}{dx}=9\cdot 16sen^{15}c \cdot cos c\cdot \frac{x^2 + 16x- 57}{x^2 + 16x + 64}

Y luego se obtiene la derivada.

\frac{dy}{dx}=9\cdot 16sen^{15} \frac{x^2 - 6x + 9}{x + 8} \cdot cos \frac{x^2 - 6x + 9}{x + 8}\cdot \frac{x^2 + 16x - 57}{x^2 + 16x...