Derivadas

Introducción:

 La Matemática como ciencia ha proporcionado al hombre importantes herramientas para enfrentar los más diversos problemas de la vida cotidiana. La mayoría de los campos del saber se valen de la matemática para inquirir en la explicación de relaciones causales de los procesos y fenómenos que ocurren en cada especialidad.
Hoy en día resulta común encontrarnos artículos médicos,químicofarmacéuticas, ciencias sociales (o de cualquier área general del saber), en que se haga referencia a algún concepto matemático. Especialmente en las ciencias económicas son utilizados conceptos como la derivada, la integral, las ecuaciones diferenciales, las series temporales, entre otros. Los métodos más modernos de medición de la eficiencia y la optimización económica tienen comosustrato esencial algún modelo matemático.
Probablemente uno de los conceptos más útiles y aplicables en la Economía sea la derivada de una función. Cualquier curso de matemática superior contiene, ineludiblemente, un tema dedicado especialmente a las aplicaciones de· la derivada.
El objetivo del presente trabajo es explicar la definición de la derivada su interpretación geométrica y gráfica y lasaplicaciones de esta en las ciencias económicas.

* Definición de Derivadas:
En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (osea su velocidad de variación); por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo, es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.
La derivada de una función es un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un puntorepresenta el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.
El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teoremafundamental del cálculo dice que la diferenciación es el proceso inverso de la integración en funciones continuas.

* Interpretación Geométrica y Grafica de las Derivadas:
Supongamos que tenemos una función y la llamamos . La derivada de  es otra función que llamaremos .
 representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de  en el punto .
En términos geométricos, estapendiente  es "la inclinación" de la línea recta que pasa justo por encima del punto  y que es tangente a la gráfica de .
Al identificar dos puntos muy cercanos en la gráfica y al unirlos mediante una línea recta, una pendiente queda visualizada. Cuanto más cercanos sean los dos puntos que se unen por medio de la recta, la recta se parece más a una recta tangente a la gráfica y su pendiente se parece más a lapendiente de una recta tangente.
Notamos que está pendiente coincide con la rapidez con que aumenta o disminuye el valor de la función en cada punto. Dicho de otra manera, si la pendiente en un punto es muy grande, entonces el valor de la función en ese punto crece (o decrece) muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces el valor de la función crece (o decrece) muy despacio en esepunto.
Es decir, tanto la pendiente de la recta tangente como la rapidez de crecimiento (o decrecimiento) en un punto  de una función  está dado por .
No todas las funciones poseen derivada. Desde el punto de vista geométrico esto se puede deber a varios motivos. Por ejemplo hay funciones donde se da el caso de que por un mismo punto pasan muchas rectas tangentes (por ejemplo la función valor...