Derivadas

GUIA DE DERIVADAS

PRESENTACIÓN
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituye el cálculo infinitesimal. Además de la utilización de la derivada para el cálculo de ciertos límites (Regla de L'Hôpital), es posible, por medio de ella, obtenerinformación sobre el comportamiento de una función, lo que permite contar con ciertos criterios que ayudan a representarla gráficamente.

INTRODUCCIÓN

En esta guía encuentra ejercicios en los que debe asociar la gráfica de una función con la de su derivada y viceversa, determinar la derivada de funciones dadas y utilizar el concepto de derivada para resolver problemas.

OBJETIVOS
*Interpretar el concepto de derivada desde el punto de vista geométrico y físico.
* Conocer y comprender el concepto de derivada y diferencial de una función en un
* punto y su relación con la continuidad.
* Interpretar la derivada de una función como una nueva función.
* Utilizar las reglas de derivación para encontrar la derivada de funciones no elementales.
* Conocer y aplicar laspropiedades de derivación para obtener la función derivada y
* derivadas sucesivas de una función dada.

LOGROS
Un estudiante alcanzara sus logros si:
* Asocia la gráfica de una función con la gráfica de su derivada
* Hace un esbozo de la gráfica de la derivada de una función dada
* Halla la derivada de una función dada utilizando las derivadas de funciones conocidas y las reglasde derivación
* Encuentra la ecuación de la recta tangente a una curva dada en un punto
* Resuelve problemas de variación instantánea

EL PROBLEMA DE LA TANGENTE
"Muchos de los problemas importantes del análisis matemático pueden transferirse o hacerse depender de un problema básico que ha sido de interés para los matemáticos desde los griegos (alrededor de 300-200 a. de J.C.). Es ésteel problema de trazar una recta tangente a una curva dada en un punto específico a ella.
Fue resuelto este problema por métodos especiales en un gran número de ejemplos aislados aún en la temprana historia de las matemáticas. Por ejemplo, es bastante fácil resolver el problema si la curva es un círculo, y todo estudiante ha visto esta solución en su geometría de secundaria. Sin embargo, no fuesino hasta el tiempo de Isaac Newton (1642-1727) y de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) que se dio un método general sistemático para obtener la solución. En este sentido se acredita a estos dos hombres la invención del cálculo.
Aunque el problema de la tangente pueda parecer de poco interés a los no matemáticos, el hecho es que las técnicas desarrolladas para resolver el problema son lamera columna vertebral de gran parte de la ciencia y la tecnología actuales. Por ejemplo, la dirección del movimiento de un objeto a lo largo de una curva en cada instante se define en términos de la dirección de la recta tangente a la trayectoria de movimiento. Las órbitas de los planetas al rededor del sol y las de los satélites artificiales alrededor de la Tierra, se estudian esencialmentecomenzando con la información sobre la recta tangente a la trayectoria del movimiento. Un tipo diferente de problemas es el de estudiar la descomposición de una sustancia radioactiva tal como el radio cuando se conoce que la razón de descomposición en cada instante es proporcional a la cantidad de radio presente. La clave de este problema así como la del problema del movimiento, está en un análisis de loque queremos designar con la palabra razón.
Como pronto veremos, este concepto está tan íntimamente relacionado con la pendiente de la recta tangente a una curva, que la formulación matemática abstracta de un problema sobre razones es indistinguible de la formulación del problema de la tangente.
Empezamos con el problema de la tangente no solo por su importancia histórica y práctica, sino...