derivadas

Derivadas Implícitas

FUNCIONES IMPLÍCITAS Y SU DERIVADA
Al considerar la función con ecuación
determinar

, es posible

con los teoremas enunciados anteriormente, ya que es una

funcióndada implícitamente en términos de la variable independiente .
Sin embargo, existen funciones que no están definidas en forma
explícita, ejemplos de las cuales son las siguientes:

Estasecuaciones no pueden ser resueltas explícitamente para "y" en
términos de "x". Se dice que la función está definida implícitamente por las
ecuaciones:

respectivamente.

Note que ambas expresiones sonde la forma general

.

Interesa ahora determinar la derivada de una función dada en forma implícita.
Consideremos cada una de las ecuaciones anteriores:
a.

Observe que

involucra unproducto de funciones y que para derivar

se debe utilizar la regla de la cadena.
Se tiene entonces derivando:

Despejando

se tiene que:

Sustituyendo "y" por

b.

se obtiene:

derivandode donde

y sustituyendo

se tiene:

El proceso realizado en estos dos ejemplos recibe el nombre de
derivación implícita, y puede ser utilizado únicamente bajo el supuesto de que
laecuación dada especifica una función. En caso de que no sea así, aunque se
realicen las operaciones, el resultado carece de sentido.

Por ejemplo, la ecuación

no puede ser satisfecha por

ningúnvalor real de "x" y "y". Al realizar el procedimiento anterior se obtiene
que

de donde

para "x" y "y" siempre que

, fórmula que parece tener significado

, aunque de hecho no puede existirderivada ya

que la ecuación dada no especifica ninguna función .

La derivación implícita determina una fórmula para
para toda función derivable tal que

, que es válida

esté definidaimplícitamente por una

ecuación dada.
Ejemplos:

1. Suponiendo que existe una función derivable tal que
implícitamente por la ecuación

está definida

, calcular

Solución:
Derivando...