Derivadas

TECSUP - PFR

Matemática I

UNIDAD X

LA DERIVADA

1.

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA La idea central del Cálculo diferencial es la noción de derivada. Igual que la integral, la derivada fue originada por un problema de Geometría: el problema de hallar la tangente en un punto a una curva. Sin embargo, a diferencia de la integral, la derivada aparece muy tarde en la historia de la Matemática.Este concepto no se formuló hasta el siglo XVII, cuando el matemático francés Pierre de Fermat, trató de determinar los máximos y mínimos de ciertas funciones. Aunque la derivada se introdujo inicialmente para el estudio del problema de la tangente, pronto se vio que proporcionaba también un instrumento para el cálculo de velocidades y, en general para el estudio de la variación de una función.2.

EL PROBLEMA DE LA TANGENTE A continuación se muestra la gráfica de una función sobre la cual se estudia el comportamiento de la tangente a ella en el punto (x 0 , f ( x 0 )) .
Y LT

f (x) P ( x0 ; f (x0 )) f (x0 )

 

Q ( x ; f (x))

Fig. 1 X

0

x0

x

x 0

Notemos que:
x 0 = representa el incremento de la variable a partir de x0. f 0 = representa el incremento dela función a partir de f (x0). x 0  0 = indica que x se aproxima a x0.

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tan  

f 0 indica la pendiente de la recta secante PQ . x 0 f 0 se aproxima al valor de x 0

Luego, cuando x 0  0 observamos que tan  
tan  .

Esto indica que la pendiente de la recta tangente en el punto P, se puede representar por:
f 0 , siempre que exista ellímite. x 0 0 x 0

m  lim

O también: Ejemplo:

m  lim

f ( x )  f (x 0 ) x x 0 x x0

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación f ( x )  x 2 y el punto de abscisa a  2 . Solución: Según lo expuesto la pendiente buscada será:

m  lim

f (x )  f (2) x 2 x 2
(x ; f (x )) LT

m  lim

x 2  22 x 2 x  2

m  lim

(x  2)(x  2) x 2 x 2

4

(2 ; f (2) )

O

2

m  lim (x  2)
x 2

m 4

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Luego, la ecuación de la recta tangente que pasa por (2, f (2)) y tiene pendiente 2 será: LT : y  f (2)  4( x  2) .

LT : y  4  4(x  2) LT : y  4 x  4
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación f ( x )  x 2  2 y el punto de abscisa 2. Solución:
(x 2  2) (2 2  2) x 2 4  lim x 2 x 2 x  2 x 2

lim

 lim
x 2

(x  2)(x  2)  lim (x  2)  4 x 2 x 2

Se trata de encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2;6) y tiene pendiente 4. O sea, y  6  4(x  2) Es decir, y  6  4 x  8 De donde y  4 x  2 , que es la ecuación buscada.

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BLOQUE I

Hallar la ecuación de la tangentea: 1.

f (x )  3x 2  8 en el punto P (1;11) .

2.

f (x )  x 4  1 en el punto P (0; 1) .

3.

f ( x )  x 5  1 en el punto P (0;1) .

4.

f ( x )  2x 5  4 en el punto P (1;2) .

5.

f ( x )  2x 5  3x  2 en el punto x = 0.

6.

f (x ) 

1 en el punto x = 1. 4  2x

7.

f (x ) 

x2 en el punto x = 1. 4  2x

8.

f (x ) 

x3 1  en el punto x = 1. 4 2x 2

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9.

f ( x )  1  2x  4 en el punto x = -4.

10.

f (x )  x 3  1  4 x en el punto x = 2.

11.

f ( x )  x  1 en el punto x = 3.

12.

f ( x )  2x  1 en el punto x = -2.

13.

f ( x )  x 2  1 en el punto x = -2.

14.

f ( x )  x 2  x en el punto x = 2.

15.

Escribir la ecuación de la tangente a la hipérbola y x 3.

1 en el punto de abscisa x

16.

¿Es correcto definir la tangente de una curva C en uno de sus puntos P como aquella recta que tiene exactamente el punto P común a C ?

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17.

La tangente a una curva en un punto, ¿puede cortar a la curva en otro?

18.

Una misma recta, ¿puede ser tangente a una curva en infinitos puntos de la misma?...