Derivadas

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ntroducción geométrica a las derivadas

Supongamos que tenemos una función y la llamamos f\,. La derivada de f\, es otra función que llamaremos f'\,.

f'(x)\, representa la pendiente de la rectatangente a la gráfica de f\, en el punto x\,.

En términos geométricos, esta pendiente f'(x)\, es «la inclinación» de la línea recta que pasa justo por encima del punto (x, f(x))\, y que es tangentea la gráfica de f\,.

Al identificar dos puntos muy cercanos en la gráfica y al unirlos mediante una línea recta, una pendiente queda visualizada. Cuanto más cercanos sean los dos puntos que seunen por medio de la recta, la recta se parece más a una recta tangente a la gráfica y su pendiente se parece más a la pendiente de una recta tangente.

Notamos que esta pendiente coincide con larapidez con que aumenta o disminuye el valor de la función en cada punto. Dicho de otra manera, si la pendiente en un punto es muy grande, entonces el valor de la función en ese punto crece (o decrece) muydeprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces el valor de la función crece (o decrece) muy despacio en ese punto.

Es decir, tanto la pendiente de la recta tangente como la rapidez decrecimiento (o decrecimiento) en un punto x\, de una función f\, está dado por f'(x)\,.

No todas las funciones poseen derivada. Desde el punto de vista geométrico esto se puede deber a varios motivos. Porejemplo hay funciones donde se da el caso de que por un mismo punto pasan muchas rectas tangentes(por ejemplo la función valor absoluto en el punto 0) y no es posible definir de manera única lapendiente a la recta tangente. También se da el caso de que no se puede definir la pendiente a una recta tangente en una función que no es continua. Incluso hay funciones donde cualquier recta que pase poruno de sus puntos interseca en una infinidad de puntos muy cercanos y por tanto no hay recta tangente.

Las funciones que poseen derivada se llaman diferenciables.

Conocer la derivada de una...
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