derivadas

DERIVADAS

La derivada de una función es el límite del cociente incremental (incremento de la función dividido entre el incremento de la variable sobre la cual se halla definida la función) cuando el incremento de la variable tiende a cero.

La derivada de una función es una medida de la tendencia que presentan los valores de la función cuando la variable sobre la cual está definidapresenta una variación que la hace cada vez menor.

Si “f” representa una función definida sobre la variable “x”; la notación de la función es f(x), que se lee “f de x” (efe de equis).

La derivada de f(x) se simboliza f ’(x), que se lee “derivada de la función f de x”.

Si a la función f(x) se le asigna la denominación “y” entonces la derivada se simboliza dy/dx, que se lee “derivada de “y”respecto a “x””. Otra forma de representar la derivada de una función respecto a la variable “x” es Dx.

Sea f(x) una función continua cualquiera; el hecho de ser continua es la condición necesaria para que la función se pueda derivar. Una función es continua si para cada valor de la variable “x” existe el correspondiente valor de la función f(x).

Si la variable tiene un incremento “h”entonces el valor de la función será f(x + h). Por tanto se establece la siguiente correspondencia:
Para: x f(x)
Para: x + h f(x + h)

Al valor “h” se le denomina incremento de la variable porque resulta del valor final de la variable menos el valor inicial de la variable: x + h – x = h.

Al valor f(x + h) – f(x) se le denomina incremento de la función, porque resulta del valorfinal de la función menos el valor inicial de la función.

La división del incremento de la función entre el incremento de la variable, se denomina cociente incremental:

Cociente incremental = f(x + h) - f(x)
h

La derivada de la función f(x) corresponde al límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Entonces: f ’(x) = Límf(x + h) - f(x)
h 0 h

Utilizando este criterio es posible calcular la derivada de una función cualquiera f(x) que sea derivable; sin embargo para funciones complejas el proceso resulta bastante dispendioso.

Luego de miles de derivadas, los calculistas encontraron relaciones más sencillas para determinar la derivada de una función y a partir de esas relacionesestablecieron las siguientes reglas:

DERIVADA DE UNA CONSTANTE
Si: f (x) = c (siendo c una constante) Entonces: f ’(x) = 0

La derivada de una constante es cero porque la derivada se obtiene cuando la función se incrementa. Si se trata de una constante, no hay incremento.
Ejemplos: f(x) = 5 f(x) = 1/2 f(x) = -34 f(x) = 
. f ’(x) = 0 f ’(x) = 0 f ’(x) = 0 f ’(x) = 0DERIVADA DE x
Si: f (x) = x
Entonces: f ’(x) = 1 La derivada de la función identidad es 1.
DERIVADA DE cx
Si: f (x) = cx
Entonces: f ’(x) = c

Ejemplos: f(x) = 8x f(x) = ½ x f(x) = -9x f(x) = 15x
. f ’(x) = 8 f ’(x) = ½ f ’(x) = -9 f ’(x) = 15


DERIVADA DE cxn
Si: f (x) = cxn
Entonces: f ’(x) = cnxn – 1 Norma general para la derivación defunciones reales.

Ejemplos: f(x) = 2x5 f(x) = -12x4 f(x) = ¼ x3/5 f(x) = 0.8x6
. f ’(x) = 10x4 f ’(x) = -48x3 f ’(x) = 3/20x-2/5 f’(x) = 4.8x5

Ejemplos importantes:
Si: f(x) = 4x-5 f(x) = -27x-2 f(x) = 6x-10
Entonces: f ’(x) = -20x-6 f ’(x) = 54x-3 f ’(x) = -60x-11


DERIVADA DE LA SUMA Y/O LA RESTA DE FUNCIONES
Si: f(x) = g(x) + h(x) + i(x)siendo f(x) derivable respecto a “x”

Entonces: f ’(x) = g ’(x) + h ’(x) + i ’(x)

En la suma de funciones, cada función (cada término) se deriva independientemente de las otras funciones.
En la resta de funciones, cada función (cada término) se deriva independientemente de las otras funciones.

Ejemplo: f(x) = 8x4 + 5x3 - 12x2 - 55
f ’(x) = 32x3 + 15x2 - 24x...