Derivadas

 
 APLICACIONES DE LA DERIVADA. Máximos y mínimos de una función
 Definición:
Decimos que f(c) es el valor 
máximo absoluto
 de una función f en unintervalo (a,b) que contiene a
c , si f(c) ≥ f(x) x
∈
(a,b). De manera análoga sedefine un valor mínimo absoluto de una función en su intervalo.
Teorema:
Diremos sin demostración que si f(x) es continua en un intervalo cerrado[a,b], entoncesf(x) tiene un máximo y un mínimo en [a,b]
 Extremos de una función.
 
 f(x)
 
 A C  E  D F BX a b c d e f 
Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, f], en este intervalo, la funciónpresentados valores máximos en
 A,
 
C 
(f(a), f(c)) y un valor mínimo en
B
(f(b)),
 
 se conocen comomáximos absolutos. Los puntos
 D, F 
corresponden a mínimos en su entorno y por lo tanto sonmínimos relativos, análogamente
 E 
que corresponde a un máximo relativo.
 Definición
 Decimos que f(c) es un
máximo relativo
de una función f si existe un intervalo abierto (c– ε, c + ε), con ε >0, tal que f(x) está definida y f(x) ≤ f(c), x
∈
(c – ε, c + ε). Decimos que f(c) es un
mínimo relativo
de una función f si existe un intervalo abierto (c– ε, c + ε), con ε >0, tal que f(x) está definida y f(x) ≥ f(c), x
∈
(c – ε, c + ε).
Teorema
Sea f(x) una función continua en el intervalo abierto (a, b) y sea c un punto de esteintervalo. Si f(c) es un extremo de f, entonces f´(c) = 0 o bien no existe.
 DemostraciónSea f(c) un valor máximo relativo de f, y supongamos que f ´(c) existe. Entonces existe unintervalo abierto (c – ε, c + ε), con ε >0 tal que x ≠ c en este intervalo:
(1)
f(x) - f(c) ≤ 0Cuando x
∈(c – ε, c):
(2)
x – c < 0 De (1) y (2) se sigue que x
∈
(c – ε, c)
(3)
 
0)()(
≥−−
c xc  f   x  f  
 Por consiguiente:
0)()(lim)´(
≥−−=
→
c xc  f   x  f  c  f  
c x En forma análoga, x
∈
(c, c + ε)
(4)
x – c > 0















MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS
Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar...