derivadas

MATEMATICAS
1º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

Derivadas

SOCIALES

MaTEX
Derivadas

Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a

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ıculo

c 2004 gonzaleof@unican.es
31 de mayo de 2004

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MATEMATICAS
1º Bachillerato

1. Introducci´n
o
1.1. Tasa de variaci´n media
o
•Interpretaci´n geom´trica
o
e
1.2. Tasa de variaci´n instant´nea
o
a
1.3. El problema de la tangente
2. Derivada en un punto
2.1. Derivadas laterales
3. Reglas b´sicas
a
• Derivada de una constante • Derivada de la potencia
4. Reglas de Derivaci´n
o
• Regla de la suma • Regla del producto • Regla del cociente
• Regla de la cadena
5. Derivadas de las funciones trascendentes
5.1. DerivadasTrigonom´tricas
e
5.2. Derivadas Exponenciales
5.3. Derivadas Logar´
ıtmicas
5.4. Derivadas de Arcos trigonom´tricos
e
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests

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d
B
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3

1. Introducci´n
o
Los cient´
ıficos de los ultimos a˜os del siglo XVII dedicaron gran parte de
´
nsu tiempo y energ´ a resolver el problema de la tangente que tiene relaci´n
ıa
o
en cuestiones como las siguientes:
En ´ptica, el ´ngulo con el que un rayo de luz incide en una superficie
o
a
de una lente est´ definida en t´rminos de la tangente a la superficie.
a
e
En f´
ısica, la direcci´n de un cuerpo en movimiento en un punto de su
o
recorrido es la de la tangente en ese punto.
Engeometr´ al ´ngulo entre dos curvas que intersecan es el ´ngulo
ıa,
a
a
entre las tangentes en el punto de intersecci´n.
o
¿C´mo encontraremos la ecuaci´n de la tangente? Usaremos el m´todo
o
o
e
ya desarrollado por Fermat en 1629.

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Secci´n 1: Introducci´n
o
o

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o
o

4

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1.1. Tasa de variaci´n media
o

A

precio

10

18

24

28

30

30

28

24

a˜o
n

0

1

2

3

4

5

6

7

Si llamamos P (x) a la funci´n precio y x designa los a˜os, podemos preo
n
guntar cu´l es la variaci´n o incremento del precio en el intervalo [0, 1], y ´sta
a
o
e
ser´
ıa
∆P = P (1) − P (0) = 18 − 10 =8 euros
la variaci´n o incremento del precio en el intervalo [1, 3], y ´sta ser´
o
e
ıa
∆P = P (3) − P (1) = 28 − 18 = 10 euros
o
Ahora bien, la tasa de variaci´n media es el incremento por unidad de tiempo.
La tasa de variaci´n media del precio en el intervalo [0, 1] es
o
P (1) − P (0)
18 − 10
=
= 8 euros/a˜o
n
1−0
1

d
B
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La siguientetabla da el precio en euros1 de un producto en 8 a˜os sucesivos
n

T.V.M. =

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La tasa de variaci´n media del precio en el intervalo [1, 3] es
o
T.V.M. =
1

28 − 18
P (3) − P (1)
=
= 5 euros/a˜o
n
3−1
2

Hemos cambiado los n´meros para que sean m´s c´modos de usar
u
a o

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5

La tasa de variaci´n media del precio en elintervalo [3, 7], es
o
24 − 28
P (7) − P (3)
=
= −1 euros/a˜o
n
7−3
4
que indica que el precio ha disminuido a raz´n de un euro por a˜o.
o
n
T.V.M. =

De esta forma definimos de la tasa de variaci´n media para una funci´n f (x)
o
o
en un intervalo [x, x + h] como

Tasa de Variaci´n Media
o
T.V.M. =

f (x + h) − f (x)
h

En el intervalo [x, x + h] la TVM representagr´ficamente la pendiente del
a
segmento que va desde el punto (x, f (x)) al punto (x+h, f (x+h)). En gr´fico
a
siguiente se muestra como var´ gr´ficamente la TVM en distintos intervalos.
ıa a

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o
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•...