Derivadas

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS

DEFINICIÓN DE LA DERIVADA.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de esa curva,
próximo a P. Considérese la recta que pasa por P y Q, llamada secante. La recta
tangente en P esla posición límite (si existe) de la secante, cuando Q se mueve
hacia P a lo largo de la curva.
Sea ƒ una función definida en un intervalo abierto que contiene al número
a. En la figura 1.1 se ilustran la gráfica de ƒ y una recta secante lpq que pasa
por P ( a , ƒ ( a ) ) y Q( x, ƒ( x )). La recta de trazo punteado l representa
una posible recta tangente en el punto P.
l

Q

a

lPQx

Y
P

X

La pendiente m de l se define como el valor de límite de la pendiente de lPQ
cuando Q

tiende a P.

Así por la definición tenemos:

m = lím
x→0

f ( x) − f (a)
x−a

siempre y cuando el límite exista. Si se introduce una nueva variable h tal
que x = a + h (es decir, h = x - a), como se ilustra en la figura 1.2.
l
lPQ
Y
Q
P

a

a+h

X

( fig. 1.2 )

seobtiene la siguiente fórmula para la pendiente m = Lím f (a + h) −f (a) , que es
h →0
h
equivalente a la anterior. El límite anterior es uno de los conceptos
fundamentales del cálculo y se llama derivada de la función ƒ en a.

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E-mail: damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
ELTIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS

Definición 1. Sea ƒ una función definida en un intervalo abierto que
contiene a a. La derivada de ƒ en a, denotada por ƒ’(a), está dada por
f ( a + h) − f ( a) , si este límite existe.
f ′( a) = Lím
h→0

h

Si este límite existe, decimos que ƒ es diferenciable en a. Encontrar la
derivada se llamaderivación; la parte de cálculo asociada con la derivada se
llama cálculo diferencial.
La diferenciabilidad implica continuidad. Si una curva tiene tangente en un
punto, la curva no puede dar un salto en ese punto. La formulación precisa de
este hecho es un teorema importante.
Teorema 1. Si existe ƒ’(a), entonces ƒ es continua en a.
Una función ƒ es derivable en un intervalo abierto (a,b) silo es en todos los
números c de (a,b). También se considerarán funciones que son derivables en
un intervalo infinito (- ∞ , a), (a,∞) o bien (- ∞ , ∞).
Para intervalos cerrados usaremos la siguiente definición.
Definición 2. Una función ƒ es derivable en un intervalo cerrado [a , b], si
lo es en el intervalo (a , b) y los límites

lí m
h→

existen.

0

+

f (a + h ) − f (a )
hlím
−

h→0

f (a + h) − f (a )
h

Los límites por la derecha y por la izquierda en la definición anterior, se
llaman derivada por la derecha y derivada por la izquierda de ƒ en a y b,
respectivamente.
La derivada de una función en intervalos de la forma [a, b), [a,∞), (a ,b] o
bien (- ∞ , b] se define usando los límites por la derecha o por la izquierda en
uno de los puntos extremos.Si ƒ está definida en un intervalo abierto que
contiene a a, entonces ƒ ’(a) existe si y sólo si las derivadas por la derecha y
por la izquierda en a existen y son iguales.
El inverso del teorema 1. Es falso. Si una función ƒ es continua en c, no se
sigue que ƒ tenga derivada en c. Esto se ve con facilidad examinando la función
ƒ (x)=| x | en el origen. Esta función, por cierto, es continuaen cero, pero no
tiene derivada ahí. (Demostración a cargo del lector)
El argumento recién presentado demuestra que en cualquier punto en el
que la gráfica de ƒ tiene un pico o presenta una esquina aguda, es continua,
pero no diferenciable.
Suponiendo que la función ƒ es derivable en a, se puede enunciar la
siguiente definición.
Definición 3. Recta tangente: La pendiente de la recta...