Derivadas

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
Funciones monótonas.
Consideremos la gráfica de abajo en la que se tiene el recorrido de un ciclista en una carrera; en ella se observan desniveles en el recorrido, se tiene un primer trozo en el que el ciclista sube,

después baja y por último sube otra vez hasta llegar a la meta. Pretendemos formalizar el concepto"subir" en la gráfica de una función, para ello tomemos dos puntos x e y del eje X y obtengamos sus asociados del eje Y, se observa que si x 0 para todo x < 1, luego, es cóncava hacia arriba para (- ; 1)
Como < 0 para todo x > 1, luego, es cóncava hacia abajo para (1; + ). (Véanse los signos de en la figura 34). Compruebe los resultados obtenidos en este análisis del comportamiento de la curva,en la gráfica de la figura 35.
III. APLICACIÓN DE LA DERIVADA A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Muchos de los problemas que se presentan en la práctica diariamente, están relacionados de una forma u otra, con encontrar los valores máximos y mínimos de una función, y más aún, determinar para qué valores de la variable independiente se alcanzan estos. Estos problemas se llaman, en general, problemasde optimización.
En términos generales, un problema de optimización consiste en encontrar el valor mínimo o minimizar, o encontrar el valor máximo o maximizar, una cierta función, de tal forma que satisfagan ciertas condiciones dadas.
La solución o soluciones óptimas son aquellas para las cuales se satisfacen las restricciones del problema y el valor de la función sea mínimo o máximo.
Lafunción que representa el problema de optimización se le llama función objetivo.
Fases en la solución de un problema de Optimización
1. Planteamiento del problema
2. Formulación Matemática (construir la función objetivo si no se da explícitamente)
3. Análisis del comportamiento de la función objetivo (puede incluir su representación gráfica)
4. Obtención de las soluciones
Veamos elsiguiente ejemplo.
Ejemplo resuelto 13:
Una empresa tiene la siguiente función de producción: Q = , donde L representa el número de horas de trabajo aprovechadas por la empresa diariamente, y Q el número de quintales obtenidos de un determinado producto agrícola.
a) Halle el valor de L para el cual el producto total es máximo. Halle el producto total máximo.
b) Haga el gráfico de estafunción.
c) Haga en un gráfico debajo del anterior, las funciones de producto marginal y producto medio.
d) ¿Qué conclusiones saca usted de estos gráficos?
Solución:
El valor de L es 10, y el producto total máximo es aproximadamente 333. Luego, si la empresa labora 10 horas diarias, obtiene su máxima producción, de aproximadamente 333 quintales.
Luego, (0; 0) y (15; 0) intercepto con el eje delas x.
Asíntotas:
Asíntotas verticales: No tiene, pues la función no tiene puntos en los que no esté definida.
Luego, Q es creciente en [0; 10] , y decreciente en (- ; 0) y [10; + ). (Comprobarlo en la figura 36).
Entonces, (0; 0) es punto de mínimo, y (10; 333) es punto de máximo.
Concavidad y puntos de inflexión:
-4L + 20
-4L + 20 = 0 L = 5
Luego, si L < 5, Q es cóncava haciaarriba. Si L > 5, Q es cóncava hacia abajo. (Véase la figura 37). Entonces, L = 5 es punto de inflexión: (5; 166,6).
Observe el gráfico de Q en la figura 38.
c) Producto marginal:
= -2L2 + 20L La función de producto marginal es una función cuadrática.
2L( L - 10) = 0 L = 0 ó L = 10 Raíces de la función.
Vértice : V( ; ) = V( - ) = V( 5; 50)
El intercepto con el eje de las Y es elpropio cero de la función (0; 0), pues en la parábola, C = 0. Observe el gráfico de la parábola en la figura 39.
Producto medio:
= - L2 + 10L
- L2 + 10L = 0 L(- L + 10) = 0 L = 0 ó L = 15 Ceros de la función.
Vértice:
Otra forma de encontrar el vértice de la parábola, es utilizando la primera derivada de la función:
= - L + 10
- L + 10 = 0 L = = 7,5
L = 7,5 es punto crítico, pero,...