Derivadas

´
CURSO DE MATEMATICA.
Repartido Te´rico 3
o
Mariana Pereira
Octubre, 2007

1.

C´lculo Integral
a

Comencemos con un ejemplo f´
ısico: un m´vil se desplaza sobre una recta con veloo
cidad constante v(t) = k > 0. En el intervalo de tiempo [t0 , t1 ] la distancia recorrida
es
d[t0 ,t1 ] = kt1 − kt0 = k(t1 − t0 ).
Observar que este n´mero es el ´rea bajo la gr´fica de v(t) en elintervalo [t0 , t1 ]:
u
a
a

k

v(t) = k
d[t0 ,t1 ]
t0

t

t1

Esto sucede en general (lo veremos m´s adelante): si v(t) ≥ 0, la distancia recorrida
a
por el m´vil en el intervalo de tiempo [t0 , t1 ] es el ´rea debajo del gr´fico de v(t) en el
o
a
a
intervalo [t0 , t1 ]:

v(t)
d[t0 ,t1 ]
t0

t1
1

t

Ejemplo 1.1. Si un m´vil se mueve en l´
o
ınea recta con velocidadv(t) = 3t m/s (notar
que su aceleraci´n a(t) = v ′ (t) = (3t)′ = 3 es constante), calculemos la distancia recoo
rrida entre 0 y 4 segundos. Necesitamos calcular el ´rea debajo de la g´afica de v(t) en
a
r
dicho intervalo:

12

1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000

v(t) = 3t

t

4

Entonces

4 × 12
= 24 m.
2
Calculemos ahora ladistancia recorrida entre 0 y t segundos, para todo t:
d[0,4] =

3t

111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000

v(t) = 3t

t

0

Entonces
d[0,t] =

t × 3t
3t2
=
m.
2
3

Observar que
3t2
2

′

= 3t = v(t),

esto es un caso particular de lo que ocurre en general segn el TeoremaFundamental del
C´lculo que veremos luego. Notar tambi´n que si conocemos la posici´n inicial del m´vil,
a
e
o
o

2

digamos p(0) = 5 m, entonces tambi´n conocemos la posici´n del m´vil para cualquier
e
o
o
tiempo t:
3t2
p(t) = 5 + d[o,t] = 5 +
2
′ (t) = 3t = v(t) como era de esperar.
y tenemos que p
Es de inter´s entonces, calcular ´reas debajo del gr´fico de una funci´n en intervalos
ea
a
o
dados. Veamos un ejemplo donde esto es m´s complicado que los casos anteriores.
a
Buscamos calcular el ´rea encerrada por el arco de la par´bola y = x2 en el intervalo
a
a
[0, 1]. La idea para calcular el ´rea, es primero aproximarla por rect´ngulos. Hagamos un
a
a
ejemplo primero: dividimos el intervalo [0, 1] en 5 intervalos iguales. Por lo tanto tenemos
1
5 intervalos, cadauno de longitud 5 : [0,1/5], [1/5, 2/5], [2/5, 3/5], [3/5, 4/5], [4/5, 1].
Utilizamos el extremo derecho de cada intervalo, para obtener 5 rect´ngulos: para el
a
intervalo [c, d] tomamos el rect´ngulo con altura f (d).
a

x2

0

1
5

2
5

3
5

4
5

1

Si sumamos las ´reas de estos rect´ngulos, tenemos:
a
a
S5 =
=

1
1
1
f
+ f
5
5
5
1 1
4
+
+
5 25 25

23
4
1
1
1
+ f
+ f
+ f (1)
5
5
5
5
5
5
9
16
1 + 4 + 9 + 16 + 25
55
+
+1 =
=
.
25 25
50
50

La idea para calcular el ´rea es que cuantos m´s intervalos tomemos, mejor la aproa
a
ximaci´n. La figura siguiente muestra la aproximaci´n del ´rea por rect´ngulos, para 10
o
o
a
a
intervalos:
3

11
00
111
000
11
00
111
000
11
00
111
000
111 11
000 00
111 11000 00
11 111
00 000
11 111
00 000
111111 11
000000 00
11 111
00 000
11 11 111
00 00 000
111111 11
000000 00
111111 111111 11
000000 000000 00
11 11 11 111
00 00 00 000
111111 111111 11
000000 000000 00
111 11 11 11 111
000 00 00 00 000
11
00
111
000
111111 111111 11
000000 000000 00
1
10

0

1
5

3
10

2
5

5
10

3
5

7
10

4
5

9
10

x21

Veamos que sucede si ahora dividimos el intervalo [0, 1] en n partes iguales y procedemos de la misma forma. Necesitaremos la siguiente f´rmula:
o
n
2

2

2

1 + 2 + 3 + ··· + n =

i2 =
i=1

n(n + 1)(2n + 1)
.
6

1 2
n−1 n
1
,
, ··· ,
y por lo tanto,
,
,
n
n n
n
n
si sumamos las ´reas de estos rect´ngulos obtenemos:
a
a
Tenemos ahora n intervalos iguales:...