DERIVADAS


UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(UNIVERSIDAD DEL PERU, DECANA DE AMERICA)


FACULTAD DE FARMACIA Y BIOQUÍMICA













TEORIA

CURSO : MATEMATICA II

PROFESOR : GONZALES CHAVEZ, máximo g.


SEMESTRE ACADEMICO : 2014 – 0


1. INTEGRAL INDEFINIDA
2. INTEGRAL DEFINIDA
3. APLICACIONES






TABLA DE DERIVADAS1) f(x)=a , a IR  f´(x)=0
2) f(x)=xr , r IR  f´(x)=rxr-1
3) f(x)=sen(x)  f´(x)=cos(x)
4) f(x)=cos(x)  f´(x)=-sen(x)
5) f(x)=Ln/x/  f´(x)= 1/x,x0
6) f(x)=ex  f´(x)=ex
7) f(x)=arcsen(x)

8) f(x)=arccos(x)

9) f(x)=arctan(x)
10) f(x)=arccot(x)
11) f(x)=senh(x)=  f´(x) = cosh(x)=
12)f(x)=cosh(x)  f´(x)=senh(x)
13) f(x)=tanh(x)  f´(x)=sech 2(x)
14) f(x)= ax  Ln f(x) = xLna  f´(x) = axLna
15) f(x)= h(x)g(x)
 Ln f(x) = g(x)Lnh(x)  f´(x) =

REGLAS PARA DERIVADAR FUNCIONES
1) [f(x)+g(x)]´= f´(x)+g´(x)
2) [f(x)g(x)]´= f´(x)g(x)+f(x)g´(x)
3)

4) [f(g(x))]´= f´(g(x)) g´(x)

EJEMPLOS [f ( g (x))]´= f ´( g (x)) g´ (x)1) [(sen x) r]´= r (sen x) r-1 cos x
2) [(cos x) r]´= r (cos x) r-1 -sen x
3) x´=[Ln e x]´= (1/e x) e x= 1
4) [(erx]´= r (e x) r-1 e x
5) [(arcsen(x))r]´=
6) [Ln(arcsen(x))]´=
7) [sen (Ln (x))]´=
8) [(Ln (x)) r]´=
9)

10)



DEFINICION
Sea la función y= f(x), diremos que F(x) es una función primitiva de f(x) en el intervalo [a, b], cuando se verifica que:Ejemplo
Sea , entonces , es una primitiva de f(x),
, es otra primitiva,
, es otra, ....Porque al derivar F1(x),F2(x) y F3(x) se obtiene f(x).
Proposición.
Si F(x) es una primitiva de f(x) y C es una constante, entonces F(x) + C, también es una primitiva de f(x).

Demostración
1) Si F(x) es una primitiva de f(x)
2) Ademáses también primitiva de f(x).

Proposición
Si F(x) y G(x) son dos funciones primitivas de f(x) en [a, b], entonces su diferencia es una constante, es decir / F(x) – G(x) = C, siendo C una constante, para todos los puntos de dicho intervalo..

Demostración
1)Por hipótesis F(x) y G(x) son funciones primitivas, por definición
y :

Si una función tiene derivada entodos los puntos de un intervalo, entonces dicha función es constante en dicho intervalo, luego existe C constante tal que:

Dados los anteriores resultados podemos dar la siguiente definición de integral indefinida:

Definición
Llamaremos integral indefinida de f(x) a la familia de todas las primitivas de f(x), es decir, la integral indefinida de f(x) es elconjunto:

A dicho conjunto lo representamos como : .

Ejemplo
Dada la función f(x) = 3x2, como F(x) = x3 es una primitiva de f(x) , la integral indefinida, es el conjunto de todas las funciones que resultan de sumarle un número real a F(x) = x3 , es decir:



Observación Es fundamental tener siempre presente que la integral indefinida deuna función es “un conjunto de funciones”.

Propiedades de la integral indefinida

a) b)

c)

La demostración de estas propiedades se basan en las propiedades de las derivadas.

Ahora veamos algunos pasos previos antes de iniciar una INTEGRACION

Antes de realizar una integración, tratar de simplificar la expresión para “ver” si se puede descomponer en integrales queaparecen en la tabla :

EJEMPLOS
1)    Solución: Desarrollando :

Luego reemplazamos e integramos
2) 
  Solución:   Descomponiendo la fracción en suma de fracciones:

       
Luego reemplazamos e integramos
 
                                          
3)                                   
Solución: Trabajando en las potencias, luego simplificando:


Por ultimo...