Derivadas

1.1. Esquema
1.- Tasa de cambio. 2.- Derivada de una función. 3.- Derivada como pendiente de una curva. 4.- Derivabilidad de una función. 5.- Derivadas aplicadas a conceptos económicos. 6.- Reglas de derivación. 7.- Derivadas de segundo orden y orden superior. 8.- Teorema de Rolle. 9.- Teorema del valor medio (Teorema de Lagrange). 10.- Regla de la cadena. 11.- Diferencial de una función. 12.-Interpretación geométrica de la diferencial. 13.- Reglas de diferenciación. 14.- Aproximación polinómica. 15.- Fórmula de Taylor. 16.- Formula de Maclaurin. 17.- Valores extremos. 18.- Optimización. Procedimiento para encontrar los valores extremos de una función. 19.- Valores críticos y puntos críticos. 20.- Test de la 1ª derivada. 21.- Extremos absolutos. 22.- Convexidad y concavidad. 23.- Testde la derivada "n-ésima". Aplicación de la fórmula de Taylor. 24.- Asíntotas. 25.- Análisis gráfico de curvas. 26.- Regla de L'Hopital.

1.2. Desarrollo de Contenidos

Tasa de cambio. La tasa de cambio de la variable y cuando la variable x en el punto x = a cambia a un nuevo valor (a + x), se representa por el cociente:

Derivada de una función. Derivada de la función f(x) en el punto x =a, es el límite, si existe, del incremento de la función dividido por el incremento de la variable, cuando éste tiende a cero.

La derivada es un número, y se llama función derivada, y se representa por f'(x), a una función tal que en cada punto toma el valor de la derivada de y = f(x). La derivada es la tasa instantánea de variación de f(x) en el punto a, es decir f'(a). La tasa proporcional devariación de f(x) en el punto a, sería f'(a) / f(a).

Derivada como pendiente de una curva. La derivada de la función y = f(x), en el punto x = a, o sea f'(a), representa la pendiente de la tangente geométrica a dicha curva en x = a.

Derivabilidad de una función. Al definirse la derivada de una función en un punto como un límite, el uso de los límites laterales, da lugar a las derivadaslaterales:
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Derivada lateral por la izquierda:

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Derivada lateral por la derecha

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Una función es derivable en un intervalo cerrado [a, b] si es derivable en (a,b) y existen además la derivada por la derecha de a, y la derivada por la izquierda de b.

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Una función es derivable en un punto si, y solo si existen las derivadas laterales de la función en dicho punto, y ambascoinciden.

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Si una función es derivable en un punto es continua en dicho punto.

Derivabilidad implica continuidad, pero continuidad no siempre implica derivabilidad.

Derivadas aplicadas
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El ingreso, el coste y el beneficio marginal, son la derivada de la función de ingresos, costes y Beneficios totales, respecto a vender o producir una unidad adicional.

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La propensión marginal alconsumo es la derivada de la función de consumo respecto al ingreso o renta nacional.

La productividad marginal del trabajo es la derivada de la función de producción respecto al trabajo.

Reglas de derivación.

Derivadas de segundo orden Sea y = f(x); la función derivada es y' = f'(x), a su vez, su derivada se escribe y" = f"(x) y así sucesivamente: y"', yIV, yV, ...

Teorema deRolle. Si la función f(x) es continua en [a, b], derivable en (a, b) y, además, f(a) = f(b), existe, al menos, un punto c(a, b) en el que f'(c) = 0.

La regla de la cadena. Sea una función y=f(u) derivable en u, y si además sucede que u = g(x) es una función derivable en x, entonces y=f[g(x)] es una función derivable y su derivada es: f'[g(x)].g'(x).

Diferencial de una función. Se llamadiferencial, en un punto, de una función (que admite derivada finita en dicho punto) al producto de la derivada por un incremento arbitrario de la variable (simbolizado por dx) : dy = f'(x).dx.

Interpretación geométrica de la diferencial. La diferencial es el incremento de la función, pero no hasta la curva, sino hasta la tangente.

Reglas de diferenciación.

Aproximación polinómica. Se trata de...