Derivadas

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1
PROBLEMAS RESUELTOS

Tema 3 Derivación de funciones de varias variables
3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables
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1. Derivadas parciales de primer orden . 2. Diferencial total y cálculo aproximado. 3. Derivadas parciales y diferenciales de órdenes superiores. 4. Derivada direccional y vector gradiente. 5. Derivada de la funcióncompuesta. 6. Derivada de funciones implícitas.

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3.2 Plano tangente y recta normal a una superficie 3.3 Extremos de una función de varias variables
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1. Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales. 2. Extremos condicionados. 3. Extremos absolutos en regiones compactas.

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————————————————————————————————— 3.1 Derivadas y diferenciales de funcionesde varias variables
3.1.1. Derivadas parciales de primer orden. Se llama derivada parcial de una función respecto a la variable independiente al siguiente límite, si existe y es finito: con

calculado suponiendo

constante. con respecto a la variable independiente al

Se llama derivada parcial de una función siguiente límite, si existe y es finito:

calculado suponiendo

constante.Para calcular las derivadas parciales son válidas las reglas y fórmulas de derivación ordinarias. Basta considerar que todas las variables son constantes (son números), salvo aquella respecto de la que estamos derivando. Volver al comienzo de la página

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1. Halla, aplicando la definición, las derivadas parciales de la función Solución: Considerando como unaconstante, tenemos:

Considerando

como una constante, tenemos:

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2 Dada la función Solución:

definida por

Halla

y

.

Considerando

como una constante, tenemos:

Considerando

como una constante, tenemos:

.

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3. Dada la funcióndefinida por Halla y

Solución:

.
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4. Dada la función f definida por (1,1,1). . Halla sus derivadas parciales en el punto P

Solución: Podemos elegir entre aplicar la definición de derivada en el punto P(1, 1, 1). o lo que es más fácil, calculamos las derivadas parciales y en ellas sustituimos.

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5. Calcula las derivadas, en el punto P(0, 0), de la función f definida por:

Solución: En este caso es más conveniente aplicar la definición de derivada en el punto P(0, 0). ya que si calculamos las derivadas parciales y en ellas sustituimos, nos encontramos con una indeterminación.

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—————————————————————————————————6. Prueba que la función f definida por satisface la ecuación:

Solución: Hallamos las derivadas parciales.

; Sustituimos las expresiones halladas en el primer miembro de la ecuación y operamos:

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3.1.2. Diferencial total y cálculo aproximado. Se llama incremento total de una función un punto a la diferencia donde y sonincrementos arbitrarios de los argumentos. Se llama diferencial total de la función diferenciable) significado). Una función se dice que es diferenciable en el punto si el siguiente límite existe y es cero. a la siguiente expresión (si la función es en

(si la función no es diferenciable esta expresión no tiene ningún

Condiciones necesarias de diferenciabilidad:
!

Si la función

esdiferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto.

!

Si la función es diferenciable es un punto, entonces existen las derivadas parciales y en ese punto.

(los recíprocos de estos teoremas no son ciertos). Condiciones suficientes de diferenciabilidad: Si las derivadas parciales son continuas en un punto, entonces la función es diferenciable en ese punto, pero si las derivadas...