Derivadas

3.3 REGLAS GENERALES DE DERIVACIÓN Las siguientes reglas tienen por objeto el calcular la derivada de una función sin usar directamente la definición, convirtiendo la derivación de funciones en un proceso mecánico. R.D.1. (Derivada de una constante)

f ( x) = C , siendo C una constante ⇒ f ' ( x) = 0 Se suele escribir:
dC =0 dx
C −C f (x + h) − f (x) = Lim = Lim 0 = 0 h→ 0 h→ 0 h h

Prueba:f ' ( x ) = Lim

h→ 0

R.D.2. (Derivada de la función identidad)

f ( x) = x ⇒ f ' ( x) = 1
Se suele escribir: dx =1 dx
f ( x + h) − f ( x) x+h−x = Lim = Lim 1 = 1 h→ 0 h→ 0 h h

Prueba:

f ' ( x ) = Lim

h→ 0

Si f(x) y g(x) son dos funciones derivables en un mismo punto x, entonces: (f + g), (f – g), (f . g) y (f / g) son también derivables en x, y se generan las siguientesreglas de derivación:

R.D.3. (Derivada de una suma de funciones)

t ( x) = f ( x) + g ( x) ⇒ t ' ( x) = f ' ( x) + g ' ( x)

R.D.4. (Derivada de una diferencia de funciones)

t ( x) = f ( x) − g ( x) ⇒ t ' ( x) = f ' ( x) − g ' ( x)

R.D.5. (Derivada de un producto de funciones)

t ( x) = f ( x) ⋅ g ( x) ⇒ t ' ( x) = f ' ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ' ( x)

Prueba:
t ' ( x ) = Limh→ 0

t(x + h) − t(x) f (x + h) g (x + h) − f ( x) g (x) = Lim h→ 0 h h f ( x + h)g ( x + h) − g ( x + h) f (x) + g (x + h) f ( x) − f (x)g (x) h g ( x + h ) [ f ( x + h ) − f ( x ) ] + f ( x ) [g ( x + h ) − g ( x ) ] h f (x + h) − f (x) g (x + h) − g (x) + Lim f ( x ) ⋅ Lim h→ 0 h→ 0 h h

= Lim

h→ 0

= Lim

h→ 0

= Lim g ( x + h ) ⋅ Lim
h→ 0

h→ 0

= g ( x) ⋅ f ' ( x) + f ( x) ⋅ g' ( x)

R.D.6.

t ( x) =

− g ' ( x) 1 ⇒ t ' ( x) = g ( x) [g ( x)]2

Prueba:
1 1 − t(x + h) − t(x) g ( x + h) g ( x) = Lim t ' ( x ) = Lim h→ 0 h→ 0 h h = Lim  g (x + h) − g (x)  1 g (x) − g (x + h) = − Lim  ⋅ h→ 0 h g ( x + h) ⋅ g ( x)  h [g ( x + h ) ⋅ g ( x ) ]  

h→ 0

 g (x + h) − g (x)   1  = −  Lim   Lim g ( x + h ) ⋅ g ( x )  h  h→ 0   h→ 0 

= − g '(x)⋅

1 g '( x) =− g (x)2 [g ( x ) ]2

R.D.7. (Derivada de un cociente de funciones)

t ( x) =

f ( x) f ' ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ' ( x) , g ( x) ≠ 0 ⇒ t ' ( x) = g ( x) [g ( x)]2

Prueba: t ( x ) = Se tiene:

1  f (x)   . Asi que, usando R.D.5. =  f (x) ⋅  g ( x)  g (x)  
'

 1   1  t ( x ) = f ( x )    g (x)  + f (x) ⋅  g (x)      
' '

 g '(x) f ' (x) =+ f ( x ) −  g (x)2 g (x) 

   

'

(R.D.6)

f ' (x) f (x)g ' (x) f '(x)g (x) − f (x)g ' (x) = − = g (x) [g ( x ) ]2 [g ( x ) ]2

R.D.8. (Regla de la Cadena)

Si y = g(u) y u = f(x), entonces se puede obtener la composición: y = (g o f) (x) = g (f(x)) Ahora, si se quiere calcular
dy dx

basta con derivar esta última relación.

La siguiente regla, conocida como la regla dela cadena, proporciona otra manera de hallar la derivada sin efectuar la composición. REGLA DE LA CADENA. Supóngase que f y g son dos funciones derivables tales que H = g(u) y u = f(x), entonces:

H’(x) = (g o f)’(x) = g’(f(x)) . f’(x) En la demostración se hace uso del siguiente lema, que se puede demostrar fácilmente: LEMA: sea g una función tal que g’(u) existe y considere la siguientefunción:
 g (u + h) − g (u ) − g ' (u ), si h ≠ 0  G ( h) =  h si h = 0 0,  Entonces: i. ii. G es continua en h = 0

(Lim G ( h ) = G ( 0 ) = 0 )
h→ 0

g ( u + h ) − g ( u ) = h [g ' ( u ) + G ( h ) ]

Prueba de la regla de la cadena: Como H(x) = g(f(x)), entonces: H(x + t) – H(x) = g(f(x + t)) – g(f(x)) = g(f(x + t)) – f(x) + f(x)) – g(f(x)) Sea h = f(x + t) – f(x) (1) (2)

Asi que: H(x+ t) – H(x) = g(h + u) – g(u)

Como f es una función continua, se sigue de (1) que: t → 0 ⇔ h → 0 . Ahora, aplicando el lema en su parte ii. en (2) se tiene: H(x + t) – H(x) = h[g’(u) + G(h)] Luego,
H ( x + t) − H ( x) h = [g ' ( u ) + G ( h ) ] ⋅ t t H ( x + t) − H ( x) f ( x + t ) − f ( x) = [g ' ( u ) + G ( h ) ] ⋅ t t

Al tomar límite en ambos lados de la última igualdad cuando t →...