Derivadas

´
MATEMATICAS
Depto. de Matem´ tica Aplicada
a
GECO-Grado en Econom´a
ı

ESQUEMA
Aplicaciones de las
derivadas

POLINOMIO DE TAYLOR
Dada una funci´ n f (x), queremos aproximarla, en un entorno de un punto x = a, es decir, en un
o
intervalo abierto de centro a y un cierto radio r, mediante un polinomio (de grado uno, de grado dos,...,
de grado n). Los polinomios son funciones con”muy buen comportamiento”, ya que, entre otras
propiedades, son funciones continuas y derivables hasta el orden n, siendo n el grado del polinomio,
en todo R.
Definici´ n: Polinomio de Taylor.
o
Dada una funci´ n f (x), derivable hasta el orden n, en el punto a, se define el Polinomio de Taylor de
o
grado n, de f en un intervalo abierto de centro x = a y radio r, como:
Pn ( f )(x) := f (a) +f (a)
f (a)
f (n) (a)
f (a)
(x − a) +
(x − a)2 +
(x − a)3 + · · · +
(x − a)n .
1!
2!
3!
n!

Se demuestra, gracias al teorema de Taylor, que la funci´ n f (x), se aproxima al Polinomio Pn ( f )(x),
o
para todo punto x ∈ (a − r, a + r), es decir,
f (x) ≈ Pn ( f )(x).
El grado de aproximaci´ n es mayor, cuanto mayor sea el grado del polinomio.
o
Ejemplo: Sea la funci´ n f (x) = Lx,o
(i) Calcule una aproximaci´ n lineal (polinomio de Taylor de grado uno) en un entorno del punto
o
x = 1, de dicha funci´ n.
o
1
1
Soluci´ n Como f (1) = L(1) = 0, f (x) = , f (1) =
o
x
1
P1 ( f )(x) := f (1) +

f (1)
(x − 1) = x − 1.
1!

Entonces f (x) ≈ P1 ( f )(x), es decir, en este caso, L(x) ≈ x − 1, para todo x ∈ (1 − r, 1 + r).
(ii) Calcule una aproximaci´ n cuadr´ tica(polinomio de Taylor de grado dos) en un entorno del
o
a
punto x = 1, de dicha funci´ n.
o
1
1
Soluci´ n Como f (x) = − 2 , f (1) = − 2
o
x
1
P2 ( f )(x) := f (1) +

f (1)
1
1
3
f (1)
(x − 1) +
(x − 1)2 = x − 1 − (x − 1)2 = − x2 + 2x − .
1!
2!
2
2
2

1
1
3
Entonces L(x) ≈ x − 1 − (x − 1)2 , es decir, L(x) ≈ − x2 + 2x − , para todo x ∈ (1 − r, 1 + r).
2
2
2
(iii)Calcule el valor aproximado de L(1.1), haciendo uso de los apartados (i) y (ii).
Soluci´ n
o
• Utilizando la aproximaci´ n lineal, L(1.1) ≈ 1.1 − 1, esto es, L(1.1) ≈ 0.1.
o

1
• Utilizando la aproximaci´ n cuadr´ tica, L(1.1) ≈ 1.1 − 1 − (1.1 − 1)2 , esto es, L(1.1) ≈
o
a
2
1
2 = 0.1 − 0.01 , esto es, L(1.1) ≈ 0.19 = 0.095.
0.1 − (0.1)
2
2
2
´
TASAS DE VARIACION
´
En Econom´a,se interpreta la derivada como tasa de variacion. Supongamos una cantidad y que se
ı
relaciona con una cantidad x, de la forma y = f(x). Si x cambia de un valor a a un valor a + h, la
funci´ n f (x) cambia de un valor f (a) a un valor f (a + h).
o
1. Se define la tasa media de variaci´ n de una funci´ n f en el intervalo [a, a + h], como el
o
o
cociente:
f (a + h) − f (a)
.
h
2. Sedefine la tasa instant´ nea de variaci´ n de una funci´ n f en a, como el l´mite cuando
a
o
o
ı
h → 0 de la tasa media de variaci´ n de la funci´ n f , es decir,
o
o
f (a) = lim

h→0

f (a + h) − f (a)
.
h

3. Se define la tasa proporcional de variaci´ n de una funci´ n f en a como
o
o
f (a)
.
f (a)
A veces, la tasa proporcional de variaci´ n, se da de forma porcentual, es decir:
of (a)
.
100 f (a)

´
ANALISIS MARGINAL
Consideramos una empresa que produce un determinado bien, en un periodo de tiempo dado. Denotamos:
CT (x) = coste total de producci´ n de x unidades.
o
IT (x) = ingreso total, por la venta de x unidades.
B(x) = beneficio total por la producci´ n (y venta) de las x unidades.
o
Recordemos algunos conceptos:
1. Definimos Coste total medio, como loque cuesta a la empresa una unidad de producto fabricado, es decir,
CT (x)
CT Me =
.
x
2. Definimos Ingreso total medio, es el ingreso que obtiene la empresa, por unidad de producto
fabricado (vendido), es decir,
IT (x)
IT Me =
x

3. Definimos Beneficio total medio, como el beneficio obtenido por unidad de producto fabricado
(vendido), es decir,
B(x)
= IT Me − CT Me
BMe =
x...