Derivadas

UNIDAD III 3.1.− DEFINICIÓN DE DERIVADA. 3.2.− INTERPRETACIÓN GEOMETRICA. 3.3.− NOTACIÓN Y CÁLCULO A PARTIR DE LA DEFINICIÓN. 3.4.− LA DERIVADA COMO UNA RELACIÓN DE INCREMENTOS. 3.5.− COMO PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA. 3.6.− REGLAS DE DERIVACIÓN. 3.7.− DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS. 3.8.− REGLA DE LA CADENA. 3.9.− DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS. 3.10.− DERIVADAS SUCESIVAS O DEORDEN SUPERIOR. 3.11.− APLICACIONES A FUNCIONES ECONÓMICAS. 3.1.− DEFINICIÓN DE DERIVADA. La derivada de una función con respecto a la variable independiente es la razón de cambio instantáneo de la función con respecto a la variable independiente. En otras palabras, la derivada es el límite del cociente de los incrementos de la función y la variable independiente cuando el incremento de lavariable tiende a cero. En símbolos, sea y = f(x), entonces la derivada de y con respecto a x es: dy y y´ = = f´(x) = fx (x) = Lim dx !x x Hay diferentes notaciones para denotar la derivada de y con respecto a x se ha encontrado que: dy Lim f(x + x) − f(x) = dx x!0 La derivada así definida es una medida de variación instantánea de la variable dependiente y con respecto a la variable independiente x. Esimportante observar que la existencia del límite, en todo caso, es una propiedad local de la función en el 1

valor considerado de la variable independiente x. si la derivadas existe en un punto x = x0, se dice que la función es derivable en ese punto. Si la función es derivable en todos los puntos de un intervalo a " x " b, entonces se dice que la función es derivable en el intervalo. 3.2.−INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LSA DERIVADA. Sea la curva AB de la ecuación y = f(x) Y B S Siendo: Q PS una secante que corta a la curva en P y Q y T el ángulo que forma la secante con el eje X PT una tangente en el punto P A P y = f(x) el ángulo que forma la tangente con el eje X R P(x,y) x Q(x + x, y + y) se forma el triángulo en R. 0MNX y = f(x) = PM (1) y + y = f(x +x) = QN (2) Restando (1) de (2)queda: y = f(x +x) − f(x) = QN − PM = QR Dividiendo entre x se tiene: Si tomamos el límite cuando x!0 y f(x + x) − f(x) QR y = = ; Lim = Lim tg = tg x x PR x!0 x x!0 La razón de los incrementos es el ángulo que forma la secante con el eje x QR y y Pero = tg RPQ ! = tg ! = m PR x x dy ! = tg dx

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Para un punto P dado en la curva, la derivada es la pendiente de la tangente a la curva en esepunto dado P 3.3.− NOTACIÓN Y CÁLCULO A PARTIR DE LA DEFINICIÓN. Cuando una variable pasa de un valor numérico a otro, la diferencia entre el valor inicial y el valor final se le llama incremento de la variable. Notación: x = incremento de x. y = incremento de y. f(x) = incremento de f(x). Ejemplos: 1.− Sea la recta de ecuación y = f(x) y P1 y+yy P x P (x,y) y P1(x + x , y + y) xx+xx 2.− sea laparábola y = x2, tomando P (−1, 1) como inicial. x −3 −2 −1 0 1 2 3 y Punto Inicial o P (−1,1) y 9 4 1 0 1 4 9 x −2 −1 0 1 2 3 4 y 8 3 0 −1 0 3 8

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0x 3. 3.1.− LA DERIVADA COMO UNA RELACIÓN DE INCREMENTOS. La derivada es el límite de la razón de los incrementos de x e y. Se le conoce también como el cociente diferencial. Para obtenerla se sigue lo que se conoce como la Regla de los cuatropasos. Sea la función y = f(x) 1) Se incrementa la función. y + y = f(x + x) 2) Se resta la función incrementada de la original. y + y = f(x + x) − y = f(x) y = f(x + x) − f(x) 3) Se divide entre el incremento de la variable independiente (x). y f(x +x) − f(x) = xx 4) Se encuentra el límite cuando x!0 y f(x + x) − f(x) Lim = Lim x!0 x x!0 x A la función así obtenida se le llama la derivada de y conrespecto a x, y para señalarla se utiliza la notación siguiente: dy/dx ó y´. Ejemplos; obtener la 1° derivada por la regla de los cuatro pasos de la siguiente función: 1) y = 3x2 − 5 y + y = 3(x + x) 2 − 5 [1] y + y = 3x2 + 6xx + 3(x) 2 − 5 − y = −3x2 + 5 y = 6xx + 3(x) 2 [2]

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y 6xx 3(x) 2 = + = 6x + 3x x x x [3] y Lim = Lim (6x + 3x) = 6x x!0 x y y´ = Lim = 6x !x x [4] 2) y = 3x2 − 5...