Derivadas

Ejercicios de Aplicación de la derivada con rectas tangentes y normales 1) Dadas las funciones

f ( x) = 1 − x

y

ϕ ( x) = 1 − Sen ⎜

ϕ´ (1) ⎛ π − x⎞ ⎟ Hallar f ´ (1) ⎝ 2 ⎠

f´(x) = − 1 ⇒ f´ (1) = − 1

ϕ´ (x) = − cos⎜ ϕ´ (1)
f´ (1) = 0

2) ¿Qué ángulo forma con el eje ox las tangentes a la curva y = x − x 2 en el punto cuya abscisa es x = 0?

y´ = 1 − 2x ⇒ mtg = 1 − 2x
.c omm

tg

= tg θ ⇒ tg θ = 1 − 2x. para x = 0 ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = arctg(1) ⇒ θ = 45º
gs po t

R

4) ¿Qué ángulo forma con el eje de abscisas al cortarse con éste en el origen de coordenadas la tangentoide y = tg x ?

y = tg x ⇒ tg θ = Sec 2 x ⇒ tg θ = Sec 2 (0) ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
5) Determinar el coeficiente angular de la tangente a la curva x3 + y3 − xy − 7 = 0 en el punto (1,2).(Definimos mtg= k coeficiente angular)

3x 2 + 3y 2 y´ − y − xy´ = 0 ⇒ y´= ⎡3y 2 − x ⎤ = − 3x 2 + y ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

y= ´

− 3(1)2 + 2 −1 − 3x2 + y − 3x2 + y Sust Pto (1,2) ⇒ y = m = k = ⇒k = ⇒k = . ´ tg 11 − 3x2 − y − 3x2 − x 3(2)2 − 1
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w

w

w

b) y = Sen (2x) ⇒ y´ = 2 Cos(2x) ⇒ m
.L

= 2 Cos(2x) ⇒ tg θ = 2 Cos(2x) tg tgθ = 2 Cos(0) ⇒ tg θ = 2 ⇒ θ =Arc tg(2) ⇒ θ = 63º ,43

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a) y = Sen x ⇒ y´= cos x ⇒ tg θ = Cos x; pto (0,0) ⇒ x = 0 ⇒ tg θ = Cos 0 ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = arctg (1) ⇒ θ = 45º
IB O SP

D F1

.b

3) ¿Qué ángulos forman con el eje de Abscisas, al cortarse con este en el origen de coordenadas las sinusoides a ) y = Sen x e b) y = S 2 x ?
lo

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π π ⎛ π x ⎞⎛ π ⎞ ⎛πx ⎞ ⎛π⎞ ⎟⎜ ⎟ ⇒ϕ´(x) = − cos⎜ ⎟ ⇒ ϕ´(1) = − cos⎜ ⎟ ⇒ ϕ´(1) = 0 2 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠

6) Determine el valor de la primera derivada de la función I ( x ) =

(

I0 1 + Be − ax

)

en

X=0, Donde I 0 , B y A son constantes.

I ( x ) = I 0 ⎛1 + Be − ⎜ ⎝

Ax

⎞ ⎟ ⎠

−1

⇒ I ′( x ) = − I 0 1 + Be − Ax

(

) (− AB e )
−2 − Ax

− Ax 2

Be

0 2

(1 + B)2

7) Hallar el punto de lacurva y =

gs

po t

.c

paralela al eje oy. La recta tag es paralela al eje ox, si y ′ = 0 existe : 2x 2x y´= − ⇒ − = 0 ⇒ x = 0 ⇒ f (0) = 1 ⇒ p(0,1) 2 1+ x 1 + x2 Ltg : y = 0 ( x − 0) + 1 ⇒ Ltg : y = 1

1 cuya ecuación de la recta tangente es 1 + x2

(

)

(

)

om

8) Encontrar el punto de la parábola y = 3 x 2 + 2 x + un ángulo con el eje x.
1 ⇒ 4

w

w

y = 3x 2 + 2x+

dy = 6x + 2; dx

Pero,

dy dy ⎛π⎞ = Tg θ ⇒ Tg ⎜ ⎟ = 1 ⇒ = 1 dx dx ⎝4⎠
2

6x + 2 = 1 ⇒ x = −

1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⇒ y⎜ − ⎟ = 3 ⎜ − ⎟ 6 6⎠ ⎝ ⎝ 6⎠

−1 ⎛ 1⎞ 1 + 2⎜ − ⎟ + = 0 ⇒ p( ,0) 6⎠ 4 6 ⎝

9) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva y = 3x2 − 5x +1 en el punto (2,3).

y ′ = 6 x − 5 ⇒ f ′(2) = 6(2) − 5 = 7 ⇒ m = 7

10) Sea T la tangente a la parábola y = x2 en (3,9).Hallar el punto en que T corta al eje y.
y´= 2 x ⇒ y´( 3) = 6

L tg : y = 6( x − 3) + 9 ⇒ y = 6 x − 9 ⇒ si x = 0 ⇒ y = − 9 ⇒ T corta el eje y en - 9.

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w

.L

IB

4

R

O SP

π

D

1 cuya recta tangente forma 4

F1 .b lo

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I´(x) =

(1 + Be )

I0 AB e − Ax

⇒ I´(0) =

(1+

I0 AB e 0

)

⇒ I´ (0) =

I0 AB

11) Una recta que pasa por el punto (0, 54) es tangente a la curva y = x 3 Hallar el punto de tangencia.
sea : l tg Re cta Tg ⇒ y − y 1 = m tg ( x − x 1 ) ⇒ p(0,54 ) ∈ l tg ⇒ y − 54 = f ′( x ) x y = f ′( x ) x + 54 si p( a, b ) es pto tg ⇒ f ( a) = f ′( a)a + 54 f ( a) = a 3 ⇒ f ′( a) = 3 a 2 ⇒ a 3 = (3 a 2 )a + 54 ⇒ a 3 = − 27 ⇒ a = − 3 ⇒ pto tg (− 3, − 27 )

12) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente es horizontal si: a) f(x)= x2-3x+2 b) f(x)= x3-6x+5

La tg es horizontal si f ′( x ) = 0 a) f´( x ) = 2 x − 3 = 0 ⇒ x =
b ) f´( x ) = 3 x 2 − 6 = 0 Si x = 2 ⇒

IB R

O SP

13) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente es horizontal si:

D

F1

.b

lo g

f ( 2) = 2 2 − 6 2 + 5 = − 4 2 + 5

sp ot...