DERIVADAS

DERIVADAS
CONCEPTO.-
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para lavariable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
PROPIEDADES.-
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE
Sea una función constante f(x) =k
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a k, si a es unpunto cualquiera del campo de definición de f(x),
f(a + h) - f(a) = k - k = 0, por lo que 
 
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Si f(x) = k → f ’(x) = 0 
Ejemplo: f(x) = 6 → f ’(x) = 0 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IDENTIDAD
La derivada de una función identidad es igual a 1 

 

Se suele escribir:


Explicación:

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL 
La derivada de una potencia o funciónpotencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

Si la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.
f(x) = xk f'(x)= k · xk−1
APLICACIONES A LAS DERIVADAS
EJEMPLOS:
1. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)=(2-x).ex, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que momento del intervalo circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez?
SOLUCIÓN
Nos piden q estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v.
Por eso utilizamos la derivada, ya quesabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer)
La derivada es:
v’(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x. ex, sacando factor común  ex se llega a:v’(x)=((1-x)ex
Igualando a 0 nos  da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto  x =1, (ya q ex nunca puede ser cero)
Estudiamos v en los alrededores de 1
 
v ‘      +        1        -        2
y        crece           decrece
 
Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo:
v(x)=(2-x)ex
v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes)
v(0)=(2-0).1=2
v(2)=(2-2).1=0       como da la velocidad  0 aquí se detuvo.
 
LA GRÁFICA:

2.  La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión
 
 Se pide:
a)  En qué periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida?b) En que instante se obtuvo la cantidad máxima de agua?
c) Cual fue esa cantidad máxima?
SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta la regla de derivación de un cociente:
Si,  su derivada es      f’ (t)=
 
Y si queremos que sea cero, tiene que ser cero el numerador, de donde t =6
 
Señalamos el punto 6 en la recta y estudiamos el crecimiento de la función, f,  entre 0 y 12 (viendo el signo del numerador solo,pues el denominador siempre es positivo)
 
0                          6                          12
f ’      +                           -                          
Crece hasta el 6 y decrece desde el 6
Por lo tanto en 6 tiene un máximo relativo, que en este caso es absoluto (pues en el infinito da 0) y se tiene:
a) la cantidad aumenta en el periodo de 0 a 6
b) en t =6
c) f(6)=10/1=10


3.  Un...