Derivadas

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Universidad Autónoma
de Nuevo León

FIME

TEMA
Integrales

Índice

TEMA PÁGINA

Antiderivadas o primitivas………………………. 4

Definición de una antiderivada o primitiva…………4

Teorema de la representación de una
Antiderivada oprimitiva………………………………4

Notación para antiderivadas o primitivas…………..4

Aplicación de las reglas básicas de
Integración……………………………………….…...5

Condiciones iniciales y soluciones particulares……5

La función de logaritmo natural……..….….……..6

Definición de la función logaritmo natural…………..6

Teorema.1………………………………………………6

Teorema.2………………………………………………6

El numero e……………………………………………7Definición de e………………………………………….7

La derivada de la función logaritmo natural…………7

Teorema.3………………………………………………7

Teorema.4………………………………………………7

Regla Log para integrar……………………………..8

Teorema.5………………………………………………8

Funciones inversas……………………………………8

Definición de función inversa………………………...8
Teorema.6……………………………………………..9

Existencia de una función inversa……………….9Teorema.7……………………………………………...9

Derivada de la función inversa……………………….9

Teorema.8………………………………………………9

Teorema.9………………………………………………9

Antiderivada o primitivas
Suponer que se decide encontrar una función F cuya derivada es f(x) = 3x². es posible afirmar que

F(x) = x³ porque d/dx [x³] =3x

La función F es una antiderivada de f.

Definición de una antiderivada o primitiva
Se dice que una función F es una antiderivada oprimitiva de f. en un intervalo I si F´(x) = f(x) para todo x en I

TEOREMA Representación de la antiderivada o primitivas
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I. entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si solo si G es de la forma G(x) = F(x) + C, para todo x en I, donde C es una constante.

Notación para antiderivada o primitivas
Cuando se resuelve una ecuacióndiferencial de la forma

dy/dx = f(x)

es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente

dy = f(x) dx

La operación para determinar todas las soluciones de esta ecuación se denomina antiderivacion (o integración indefinida) y se denota mediante un signo integral ∫. La solución general se denota mediante

Variable de integración Constante de la integración
▼▼
y = ∫ f(x) dx = F(x) + C
▲
Integrando

La expresión ∫ f(x)dx se lee como la antiderivada o primitiva de f con respecto a x.De tal manera, la diferencial de dx sirve para identificar a x como la variable de integración. El termino integral definida es un sinónimo de antiderivada

Aplicación de las reglas básicas de integraciónDescribir las antiderivada o primitivas de 3x

Solución ∫ 3x dx = 3∫ x dx Regla del múltiplo constante
=3∫ x¹ dx Reescribir x como x¹.
=3∫(x²/2) +C Regla de potencia (n=1)
=3/2x² +C Simplificar

De tal manera, las antiderivada o primitivas de 3x son dela forma 3/2x² + C, donde C es cualquier constante.

Cuando se evalúan integrales indefinidas, una aplicación estricta de las reglas básicas de integración tiende a producir complicadas costantes de integración Es el caso del ejemplo, advertir que el patrón general de integración es similar l de la derivación

∫ 3xdx = 3∫x dx = 3 (x²/2 + C) = 3/2x² + 3C

Sin embargo, como C representacualquier constante, es tanto problemático como innecesario escribir 3C como la constante de la integración. De tal modo, 3/2x²+ C se escribe en la forma mas simple, 3/2x²+ C.

Condiciones iniciales y soluciones particulares
Se ha visto que la ecuación y=∫ f(x)dx tiene muchas soluciones (cada una difiriendo de las otras en una constante). Eso significa que las graficas de varias...