Derivas

Matem´ticas II
a
Ciclo 2011-1
S´bado 16 de abril del 2011
a
PREG.
PUNTAJE

Nombres: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C´digo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Secci´n:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1
2
3
4
5
NOTA

Primera pr´ctica calificada
a
Est´ estrictamente prohibido el uso decalculadoras y el pr´stamo de materiales.
a
e
No hay consultas; si considera que alguna pregunta est´ errada o mal propuesta corrija el
a
enunciado y justifique su proceder.

1. Considere la sucesi´n (xn )n∈N definida por xn =
o

5n − 1
.
n

a) Escribir los 5 primeros t´rminos.
e

(0.5 pt.)

b) Probar que para cualquier n ∈ N, xn+1 − xn > 0.

(1.5 pt.)

c) ¿La sucesi´n (xn )n∈Nes acotada superiormente? Justifique.
o

(1 pt.)

d ) ¿La sucesi´n (xn )n∈N es convergente? Justifique.
o

(1 pt.)

Soluci´n:
o
a) Reemplazando valores para n = 1, 2, 3, 4, 5 tenemos x1 = 4, x2 =
x4 = 19 , x5 = 24
4
5
b) Como xn =

5n−1
n

=5−

1
n

9
,
2

x3 =

14
,
3

para todo n ∈ N. Entonces:

xn+1 − xn = 5 −

1
1
1
1
1
−5+ = −
=
>0
n+1
n
n n+1n(n + 1)

Luego xn+1 − xn > 0 para todo n ∈ N.
1
1
c) Como xn = 5 − n , para todo n ∈ N, entonces 5 − xn = n > 0, para todo n ∈ N,
luego 5 > xn (lo cual tambi´n significa que xn ≤ 5), para todo n ∈ N, esto ultimo
e
´
nos dice que la sucesi´n (xn )n∈N est´ acotado superiormente por 5 (y en general
o
a
por cualquier otro n´mero mayor que 5).
u

d) La sucesi´n es convergente. Esto sepuede justificar de tres maneras:
o
i) De los items (b) y (c), tenemos que la sucesi´n (xn ) es mon´tona creciente
o
o
y acotada superiormente. Luego, la propiedad vista en clase nos dice que toda
sucesi´n acotada superiormente y creciente es convergente, por lo tanto (xn )n∈N
o
es convergente.
1
ii) Como en clase se vio que l´
ım
= 0, y toda sucesi´n constante es cono
n→∞
n
vergentecon l´
ımite igual al valor constante de ella, tenemos que la sucesi´n dada
o
1

1
es xn = an + bn con an = 5 y bn = − n cumpliendo que (an ) y (bn ) son convergentes. Por el ´lgebra de l´
a
ımites para sucesiones tenemos que (xn ) es convergente.
M´s a´n, el l´
a u
ımite es igual a l´ xn = l´ an + l´ bn = 5 − 0 = 5.
ım
ım
ım
n

n

n

iii) Se puede probar por definici´n que ell´
o
ımite es 5 (una vez que se intuye
esto). Para esto, as´mase dado un > 0. Para este valor de (arbitrario) debemos
u
hallar un n0 ∈ N tal que si consideramos valores de n tales que n > n0 debe
cumplirse que |xn − 5| < (todos los valores de xn deben estar a una distancia
menor que de 5 para valores de n mayores que n0 por hallar). Como |xn − 5| =
1
1
| − n | = n tenemos que |xn − 5| < seva a cumplir si y solamente si n > 1 .
De aqu´ vemos que el valor de n0 que necesitamos para obtener lo deseado es
ı
cualquier n´mero natural mayor o igual que 1 (ya que si n0 ≥ 1 entonces si
u
n > n0 tambi´n se tiene la desigualdad estricta buscada n > 1 ). La existencia
e
de este n´mero est´ asegurada por el llamado “Principio arquimediano”que es
u
a
1
= 0. Esto termina lademostraci´n
o
b´sicamente aceptar que se cumple l´
a
ım
n→∞
n
de que la sucesi´n (xn ) tiene como l´
o
ımite el valor 5 y por lo tanto es convergente.

2

2. En la cadena de supermercados Plaza Centro en el mes de Enero del a˜o 2011 emn
pezaron a vender dos tipos nuevos A y B. Se sabe que en el mes de enero la utilidad
que gener´ la venta de cada uno de los quesos fue de 2000 soles.
o
a)Suponga que la utilidad que genera la venta del queso A se duplica cada mes.
Obtenga la expresi´n de la utilidad que genera la venta del queso A en funci´n
o
o
del n´mero de meses transcurridos desde que empez´ su venta.
u
o
(1.5 pt.)
b) Suponga que la utilidad que genera la venta del queso B aumenta de modo que
cada mes hay 5000 soles m´s que en el mes anterior. Obtenga la expresi´n...