Descomposición factorial

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
FACTOR
Se llaman factores de una expresión algebraica a las expresiones que multiplicadas entre sí dan como resultado la expresión inicial.
Si multiplico x por ( x + y ) se obtiene:

FACTORIZAR
Es convertir una expresión algebraica en el producto indicado de sus factores.
CASOS DE FACTORIZACIÓN
Para factorizar monomios y polinomios se utilizan variosprocedimientos que se desarrollan mediante situaciones o casos que se presentan con un método particular para cada uno.
Caso I. Factor común monomio
Se presenta cuando todos los términos de un polinomio tienen una elemento en común, bien sea numérico, literal o ambos.

Descomponer o factorar la expresión:

Los tres términos tienen el factor común a. Se escribe el factor común a como coeficientede los resultados de dividir cada uno de los términos entre el factor común. Estos resultados se encierran dentro de un paréntesis separados por sus correspondientes signos.


Caso I. Factor común polinomio

Factorizar:
3x(x - 2) - 2y(x - 2)
Los dos términos de esta expresión tienen en común el binomio (x - 2), entonces escribimos el binomio (x - 2) como coeficiente de un paréntesisdonde irán los resultados de dividir cada uno de los términos entre el factor común (x - 2) separados por el signo correspondiente.
Factor común: (x - 2)
Luego:
Se escribe primero el factor común. Todo caso de factorización se prueba multiplicando los factores obtenidos y comprobando que resulte la expresión algebraica inicial.
Caso II. Factor común por agrupación



El segundoparéntesis va precedido del signo menos -, que corresponde al signo del tercer término, y se sabe que se debe cambiar de signo al término 3n porque el paréntesis va precedido del signo menos -.


Caso III. Trinomio cuadrado perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando resulta de un producto de dos factores idénticos:

De lo anterior se concluye que la raíz cuadrada de una cantidadpositiva posee dos signos uno positivo y otro negativo.

Raíz cuadrada de un monomio


El anterior procedimiento se enuncia mediante la siguiente regla: Un trinomio ordenado es cuadrado perfecto si el primer y tercer término son cuadrados perfectos, es decir, que tiene raíz cuadrada exacta, son positivos y el segundo término es dos veces el producto de sus raíces cuadradas. (El doble productode las raíces puede ser positivo o negativo.)


Hay ocasiones en que el primero, tercero, o ambos términos de un trinomio resultan ser expresiones compuestas, y si bien es un caso especial, para su desarrollo se procede de la misma manera que la estipulada en el ejemplo anterior:


Caso IV. Diferencia de cuadrados perfectos.
Se ha visto en los productos notables que la diferencia delos cuadrados de dos cantidades, es igual al producto de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas de las cantidades. Recordemos:

Para factorizar una diferencia de cuadrados le extraemos la raíz cuadrada tanto al minuendo como al sustraendo y el resultado será el producto de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas extraídas.

Factorizar:

Al igual que en el casoanterior (caso III) se pueden encontrar expresiones algebraicas en que en una diferencia de cuadrados uno o ambos cuadrados resultan ser expresiones compuestas.



Importante:
Al introducir una cantidad dentro de un paréntesis precedido de un signo -, se debe cambiar de signo a la cantidad.
En la eliminación de signos de agrupación (paréntesis) se debe aplicar la ley delos signos.
Caso V. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción



Caso especial. Factorizar una suma de cuadrados.


Para que esta expresión algebraica sea un trinomio cuadrado perfecto hace falta
que su segundo término sea igual al doble producto de las raíces cuadradas

Entonces sumamos esta cantidad al trinomio inicial para convertirlo en trinomio cuadrado...