Desgualdades cuadraticas

Desigualdades Cuadr´ticas y Racionales a MATE 3011
Material Suplementario Para el Curso M´todos Cuantitativos 1 e

Este suplemento tiene el prop´sito de mostrar como resolver desigualdades que contienen una exo presi´n cuadr´tica o una expresi´n racional. Los m´todos que presentaremos difieren de los desao a o e rrollados para resolver desigualdades lineales y desigualdades con valor absoluto.Como parte del proceso de resolver la desigualdad cuadr´tica la rearreglaremos para que un lado sea igual a cero. a Luego factorizaremos la expresi´n cuadr´tica que se obtiene. o a Ejemplo 1. Resuelva la desigualdad x2 + x − 2 > 0. ´ SOLUCION. Comenzamos factorizando la expresi´n cuadr´tica pues uno de los lados es igual a o a cero. x2 + x − 2 > 0 (x + 2)(x − 1) > 0 Ahora resolvemos la ecuaci´n(x + 2)(x − 1) = 0. Tenemos que o x + 2 = 0 o x − 1 = 0. Obtenemos que x = −2 o x = 1. Estos valores dividen la recta real en tres intervalos: (−∞, −2), (−2, 1), (1, ∞). Sabemos que x = −2 y en x = 1 satisfacen la ecuaci´n x2 + x − 2 = 0. Deseamos o 2 determinar el signo de la espresi´n x + x − 2 en los intervalos (−∞, −2), (−2, 1), (1, ∞). Para o esto determinamos el signo de cada uno de losfactores usando un valor de x en cada uno de los intervalos. Este valor particular de x se conoce como valor prueba. Por ejemplo, para determinar el signo del factor x − 2 en el intervalo (−∞, −2) escogemos un valor de x que este en este intervalo, digamos x = −3 y lo subustituimos en x − 2. Obtenemos x − 2 = −3 − 2 = −5. Luego x − 2 es negativo en el intervalo (−∞, −2). Por otro lado x − 1 = −3 − 1 =−4 por lo que x − 1 es negativo en el intervalo (−∞, −2). Repetimos este procedimiento para los otros dos intervalos. Construimos una tabla, llamada una tabla de signos, para organizar la informaci´n obtenida: o Intervalos Signo de x + 2 Signo de x − 1 Signo de (x + 2)(x − 1) (−∞, −2) (−2, 1) (1, ∞) − − + + − − + + +

El signo de (x + 2)(x − 1) se obtiene multiplicando el signo de x − 2 con elsigno de x + 1. Nos interesa saber donde (x + 2)(x − 1) > 0, es decir donde (x + 2)(x − 1) es positiva. Esto ocurre en (−∞, −2) o en (1, ∞). 1

Ejemplo 2. Resuelva la desigualdad x2 ≤ 4x + 12. ´ SOLUCION. Primero despejemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la expresi´n resultante: o x2 ≤ 4x + 12 x2 − 4x − 12 ≤ 0 (x + 2)(x − 6) ≤ 0. Resolvemos la ecuaci´n (x + 2)(x − 6) =0. Obtenemos que x + 2 = 0 o x − 6 = 0. Luego x = −2 o o x = 6. Ahora construimos una tabla de signos. Intervalos Signo de x + 2 Signo de x − 6 Signo de (x + 2)(x − 6) (−∞, −2) (−2, 6) (6, ∞) − − + + − − + + +

Buscamos todos los valores de x tales que (x + 2)(x − 6) ≤ 0. (x + 2)(x − 6) es menor que cero en el intervalo (−2, 6) e igual a cero en x = −2 y en x = 6. Luego la soluci´n de ladesigualdad es el o intervalo [−2, 6]. Ejemplo 3. Resuelva la desigualdad x2 < 3x. ´ SOLUCION. Primero despejemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la expresi´n resultante: o x2 < 3x x2 − 3x < 0 x(x − 3) < 0. Resolvemos la ecuaci´n x(x − 3) = 0. Obtenemos que x = 0 o x − 3 = 0 de donde se sigue que x = 0 o o x = 3. Ahora construimos una tabla de signos.

2

Intervalos Signode x Signo de x − 3 Signo de x(x − 3)

(−∞, 0) (0, 3) (3, ∞) − − + + − − + + +

Buscamos todos los valores de x tales que x(x − 3) < 0. Esto ocurre en (0, 3). Ejemplo 4. Resuelva la desigualdad 4x2 + 8x ≥ 5. ´ SOLUCION. Primero despejemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la expresi´n resultante: o 4x2 + 8x ≥ 5 4x2 + 8x − 5 ≤ 0 (2x + 5)(2x − 1) ≤ 0. Resolvemos laecuaci´n (2x + 5)(2x − 1) = 0. Obtenemos que 2x + 5 = 0 o 2x − 1 = 0. Luego x = − 5 o 2 1 o x = 2 . Ahora construimos una tabla de signos. Intervalos Signo de 2x + 5 Signo de 2x − 1 Signo de (2x + 5)(2x − 1)
5 (−∞, − 2 )

(− 5 , 1 ) 2 2 + − −

( 1 , ∞) 2 + + +

− − +

Buscamos todos los valores de x tales que (2x + 5)(2x − 1) ≥ 0. (2x + 5)(2x − 1) es mayor que cero 5 en el intervalo (−∞, −...