Desigualdad de chebyshov

Desigualdad de Chebyshov
En probabilidad, la desigualdad de Chebyshov (habitualmente también escrito como "Tchebycheff") es un resultado que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su esperanza matemática. La desigualdad recibe su nombre del matemático ruso Pafnuti Chebyshov.
Formulación
Si X esuna variable aleatoria de media μ y varianza finita σ², entonces, para todo número real k > 0,

Sólo en caso de que k > 1 la desigualdad proporcionan una cota no trivial.
Ejemplos
Para ilustrar este resultado, supongamos que los artículos de Wikipedia tienen una extensión media de 1000 caracteres y una desviación típica de 200 caracteres. De la desigualdad de Chebyshov, usando k = 2, se deduceque al menos el 75% de los artículos tendrán una extensión comprendida entre 600 y 1400 caracteres.
Otra consecuencia del teorema es que para cada distribución de media μ y desviación típica finita σ, al menos la mitad de sus valores se concentrarán en el intervalo (μ-√2 σ, μ+√2 σ).
Demostración
Para demostrar la desigualdad se parte de la variable aleatoria auxiliar Y definida así:Entonces, trivialmente,

y por lo tanto,

Tomando esperanzas en ambos miembros se obtiene

por lo que

Pero, a su vez, dado que Y sólo puede ser 0 o 1,

lo que prueba el resultado.
Discusión
La cota proporcionadas por la desigualdad de Chebyshov, en general, no se pueden mejorar. De hecho es posible construir una variable aleatoria cuya cota de Chebyshov coincida con las probabilidadereal. Sin embargo, en casos concretos el teorema proporciona cotas poco precisas.
El teorema puede ser útil a pesar de las cotas imprecisas porque se aplica a una amplia gama de variables que incluye las que están muy alejadas de la distribución normal, y porque las cotas son fáciles de calcular. El teorema se emplea para demostrar la ley débil de los grandes números
Teorema de Chebyshev.
Si unavariable aleatoria tiene una varianza o desviación estándar pequeña, esperaríamos que la mayoría de los valores se agrupan alrededor de la media. Por lo tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación estándar mayor si pensamos en la probabilidad en términos deuna área, esperaríamos una distribución continua con un valor grande de σ que indique una variabilidad mayor y, por lo tanto, esperaríamos que el área este extendida. Sin embargo, una desviación estándar pequeña debería tener la mayor parte de su área cercana a µ.
Podemos argumentar lo mismo para una distribución discreta. En el histograma de probabilidad. El área se extiende mucho más que. Locual indica una distribución mas variable de mediciones o resultados el matemático ruso P. L. Chebyschev (1821–1894) descubrió que la fracción de área entre cualesquiera dos valores simétricos alrededor de la media esta relacionada con la desviación estándar. Como el área bajo una curva de distribución de probabilidad, o de un histograma de probabilidad, suma 1, el área entre cualesquiera dosnúmeros es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor entre estos números.
El siguiente teorema, debido a Chebyshev da una estimación conservadora de la probabi8lidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de κ desviaciones estándar de su media para cualquier numero real κ proporcionaremos la demostración solo para el caso continuo y se deja el caso discreto como ejercicio.Teorema de Chebyshev: La probabilidad de que cualquier variable aleatoria X, tome un valor dentro de la κ desviaciones estándar de la media es al menos 1 – 1 / κ2. Es decir
P (µ - κ σ < X < µ + κ σ) ≥ 1 – 1–κ2.
Prueba: por nuestra definición anterior de la varianza de X escribimos
σ2 = E [ (X - µ)2] = -∞∫∞ (x + µ)2 ƒ (x) dx = -∞∫ µ- k σ (x + µ)2 ƒ (x) dx + µ- k σ∫ µ+ k σ (x + µ)2 ƒ (x)...