desigualdades de Holder, Minkowski y Hanner

Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado
Decanato de Ciencias y Tecnolog´
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Licenciatura en Ciencias Matem´ticas
a

Proyecto De Trabajo Especial De Grado

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LAS DESIGUALDADES DEHOLDER, MINKOWSKI Y
HANNER
Una nueva versi´n de la desigualdad de Jensen.
o

Br. Andreina Guevara

Tutor: Msc. Miguel J. Vivas C.
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Area de Conocimiento: An´lisis.
a

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1.

Resumen

LaDesigualdad de Jensen para funciones convexas: J( f dµ)

(J ◦ f )dµ es v´lida si
a

f es µ−medible y µ es una medida de probabilidad, esta desigualdad es una herramienta
que permite establecerlas desigualdades de H¨lder, Minkowski, y Hanner, ya conocidas
o
del An´lisis Funcional. En el presente trabajo se estudiar´ una extensi´n la desigualdad
a
a
o
de Jensen al caso en que µ es unamedida positiva arbitraria y bajo la hip´tesis que J
o
es una funci´n positivamente homog´nea, esto es ∀x, tal que J(rx) = rJ(x) con r
o
e

0.

Este resultado esta basado en el art´
ıculopublicado por Paolo Roselli y Michel Willem (A
Convexity Inequality, American Math Montly, 109 (2002), 64-70).

2.

Planteamiento del Problema

Estudiar y desarrollar la versi´n de la Desigualdad deJensen, encontradas en [1] para
o
demostrar las desigualdades de H¨lder, Minkowski y Hanner.
o

3.

Antecedentes

Las desigualdades juegan un rol fundamental en matem´tica, y es por ello quetodo
a
matem´tico debe estar familiarizado con varias de ellas y con las t´cnicas generales para su
a
e
manejo, entre las desigualdades conocidas tenemos: La desigualdad triangular, ladesigualdad de Cauchy-Schwarz, la desigualdad de Chebyshev, por mencionar algunas; asimismo
encontramos la desigualdad de Jensen, demostrada por el matem´tico dan´s Johan Jensen
a
e
en 1906, la cualestablece que: si J es una funci´n convexa y f es µ−medible, donde µ es
o
una medida de probabilidad se tiene que J( f dµ)

(J ◦ f )dµ, un resultado an´logo
a

es para funciones c´ncavas, donde...