Desigualdades Young, Holder y Minkowski

Desigualdades de Young, H¨
older y Minkowski
Objetivos. Demostrar las desigualdades de Young, H¨older y Minkowski.
Requisitos. Funciones convexas, criterio de funci´on convexa en t´erminos de susegunda
derivada, la integral de Lebesgue, propiedad mon´otona de la integral de Lebesgue.

Desigualdad de Young
1. Convexidad de la funci´
on exponencial. Consideremos la funci´on exponencial en
el ejereal. Para todo x ∈ R se tiene que exp (x) = exp(x) > 0, por lo tanto f es convexa.
Esto significa que para todos x, y ∈ R y todos α, β ≥ 0 con α + β = 1 se cumple la
desigualdad
exp(αx + βy) ≤ αexp(x) + β exp(y).
(1)
2. Desigualdad de Young. Sean a, b ≥ 0, p, q > 1,
ab ≤

1 1
+ = 1. Entonces
p q

ap b q
+ .
p
q

(2)

Demostraci´on. Si a = 0 o b = 0, entonces el lado izquierdo de la desigualdad(2) es 0,
mientras al lado derecho es no negativo, y la desigualdad se cumple. Sean a > 0 y b > 0.
Entonces (2) se obtiene de (1) al hacer el siguiente cambio de variables:
1
α= ,
p

1
β= ,
q

x = pln(a),

y = q ln(b).

3. Tarea adicional. Encuentre otras demostraciones de la desigualdad de Young.

Desigualdades de Young, H¨older y Minkowski, p´agina 1 de 3

Desigualdad de H¨
older
4. Teorema.Sean (X, F, µ) un espacio de medida, f, g ∈ M(X, F, C) y p, q > 1 tales que
1
+ 1q = 1. Entonces
p
1/p 



|f |p dµ

|f | |g| dµ ≤ 

|g|q dµ



X

X

1/q
.

(3)

X

Demostraci´on. Denotemos por αy β a los factores que est´an en el lado derecho de (3):

1/p

1/q
|f |p dµ

α := 

|g|q dµ

β := 

,

X

.

X

Si α = 0, entonces f = 0 casi en todas partes, y la desigualdad (3) seconvierte en la
igualdad trivial 0 = 0. De manera similar se considera el caso cuando g = 0. Si α > 0, β > 0
y α = +∞ o β = +∞, entonces el lado derecho de (3) es +∞, y (3) se cumple de manera
trivial.Consideremos el caso principal cuando α, β ∈ (0, +∞). Denotemos por u y v a las
funciones f y g normalizadas de la siguiente manera:
u :=

f
,
α

v :=

g
.
β

Entonces
|u|p dµ =
X

1
αp

|f |p dµ = 1,...