Desigualdades

DESIGUALDADES

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1.1

CONCEPTOS Y DEFINICIONES

Una igualdad en Álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes matemáticos. Es una afirmación, a través del signo = , de que dos expresiones son iguales. Las igualdades algebraicas pueden ser: a) Ecuaciones: cuando se cumple la igualdad solamente para determinado(s) valor(es) de la(s) variable(s).
Ejemplo: 3x- 7 = 5 , se cumple que es igual solamente cuando x = 4.

b) Fórmulas: cuando se cumple la igualdad para todos los valores de la(s) variable(s) independiente(s).
Ejemplo:

d = vt , se cumple para todos los valores de la velocidad v y del tiempo t.

c) Identidades: Cuando el miembro izquierdo es exactamente igual al derecho. También se les llama así a las igualdades que se cumplenindependientemente del valor de sus variables.
Ejemplos: a) 8 + sen 2 x = 8 + sen 2 x b) sen 2 x + cos 2 x = 1 (Ambos lados son idénticos). (para cualquier valor que se le dé a la x siempre la suma da 1).

d) Equivalencias: cuando el miembro izquierdo vale lo mismo que el derecho.

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Ejemplo:

5 x = 3x + 2 x

Aunque hay que señalar que no todos los autores nimatemáticos están de acuerdo en esta terminología y a veces la utilizan de manera distinta. Lo que sí es un hecho es que solamente hay cuatro clases de igualdades. En síntesis:

⎧ ecuaciones ⎪ fórmulas ⎪ igualdades ⎨ ⎪ identidades ⎪ equivalencias ⎩

Cuando dos expresiones matemáticas se comparan solamente existen dos posibilidades: a) que sean iguales entre sí; b) que no sean iguales entre sí, o sea, quesean diferentes. Una desigualdad es entonces la consecuencia de una comparación que no resulta igual. Si a y b son las cosas comparadas que no resultaron iguales, se escribe a ≠ b . A su vez, cuando dos expresiones comparadas son desiguales, solamente existen dos opciones: que la primera de ellas sea mayor que la segunda, o que sea menor. La simbología correspondiente es a > b , o bien a < b . Ensíntesis, al comparar dos objetos matemáticos a y b , solamente existen las siguientes posibilidades:

⎧a = b ⎪ Al comparar a con b ⎨ ⎧a < b a ≠ b⎨ ⎪ ⎩a > b ⎩

De manera semejante a las igualdades, las desigualdades pueden ser:

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a) Absolutas: cuando la desigualdad no depende de las variables.
Ejemplos: 7>5 a+1>a (a + b)2 > 0

b) Condicionales o inecuaciones:cuando se cumple la desigualdad solamente para ciertos valores de la(s) variable(s).
Ejemplos:

3x + 2 y < 0
13 x − 2 1 > x+6 2

3x < x2 - 5

Resumiendo:

⎧ absolutas desigualdades ⎨ ⎩ condicionales o inecuaciones

Si resolver una ecuación es encontrar el (los) valor(es) de la(s) variable(s) con los que la relación de igualdad adquiere veracidad, de manera semejante resolver unadesigualdad es encontrar el (los) valor(es) de la(s) variable(s) con los que la relación de desigualdad adquiere veracidad. Evidentemente debe tratarse de una desigualdad condicional o inecuación. Entre la resolución de ecuaciones y de desigualdades se presentan algunas diferencias, como el hecho de que las soluciones de las ecuaciones son valores determinados de la(s) variable(s), mientras que lassoluciones de las desigualdades son intervalos de valores. Algunas otras diferencias aparecerán conforme se adentre en el estudio de las desigualdades.

1.2

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Las principales propiedades de las desigualdades son:

1) Si a ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta la misma cantidad, la desigualdad se conserva.

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Ejemplo:7 < 15 7 + 3 < 15 + 3 10 < 18

, o sea que

2) Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad positiva, la desigualdad se conserva.
Ejemplo: 7 7×3 21 < 15 < 15 × 3 < 45

, o sea que

3) Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad negativa, la desigualdad se invierte.
Ejemplo: 7 < 15 7(-3) < 15(-3) , o sea que - 21 > - 45 " (se...